Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: (b)
, definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Pra isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e entender o conceito de derivada parcial, que é a taxa de variação da função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Para isso, tratamos
e
como constantes.
A função é
.
A derivada da função cosseno é vezes a derivada do argumento
. Aqui,
, e a derivada de
em relação a
é
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Neste caso,
e
são tratados como constantes.
Novamente, a função é
.
A derivada do cosseno é vezes a derivada do argumento
. A derivada de
em relação a
é
.
Portanto,
Passo 4
Por fim, vamos determinar a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui,
e
são mantidos constantes.
A função continua sendo
.
A derivada do cosseno é vezes a derivada do argumento
. A derivada de
em relação a
é
.
Então,
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Determine para quais valores de
as desigualdades abaixo são satisfeitas.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: (a)
, definida por
sen
;
Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.
Seja
, definida por
Prove que
é uma solução da equação diferencial parcial
em
.