Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: (b) f: R^3 -> R, definida por f(x, y, z) = cos(x + 2y + 3z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Pra isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e entender o conceito de derivada parcial, que é a taxa de variação da função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Para isso, tratamos e como constantes.
A função é .
A derivada da função cosseno é vezes a derivada do argumento . Aqui, , e a derivada de em relação a é .
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Neste caso, e são tratados como constantes.
Novamente, a função é .
A derivada do cosseno é vezes a derivada do argumento . A derivada de em relação a é .
Portanto,

Passo 4

Por fim, vamos determinar a derivada parcial de em relação a , . Aqui, e são mantidos constantes.
A função continua sendo .
A derivada do cosseno é vezes a derivada do argumento . A derivada de em relação a é .
Então,

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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