Seja
, definida por
Prove que
é uma solução da equação diferencial parcial
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função
resolve a equação diferencial parcial
no espaço
sem o ponto
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e entender como aplicar a equação dada para provar isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Isso significa calcular
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos calcular
:
Novamente, usando a regra do quociente:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, vamos substituir na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Juntando os termos:
Simplificando:
Resposta
Portanto, mostramos que
. Assim, a função
é uma solução da equação diferencial parcial dada em
.