Seja , definida por
Prove que é uma solução da equação diferencial parcial
em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função resolve a equação diferencial parcial no espaço sem o ponto . Vamos usar cálculo de derivadas parciais e entender como aplicar a equação dada para provar isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . Isso significa calcular , e .

Passo 3

Vamos calcular :
Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos calcular :
Novamente, usando a regra do quociente:

Passo 6

Agora que temos , e , vamos substituir na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Juntando os termos:
Simplificando:

Resposta

Portanto, mostramos que . Assim, a função é uma solução da equação diferencial parcial dada em .

Exercícios relacionados

Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: (b) , definida por .
Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.
Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.