Seja f: R^3 \ {0,0,0} -> R, definida por
f(x, y, z) = y / (x^2 + y^2 + z^2)
Prove que f é uma solução da equação diferencial parcial
x u_x + y u_y + z u_z = -u
em R^3 \ (0,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função resolve a equação diferencial parcial no espaço sem o ponto . Vamos usar cálculo de derivadas parciais e entender como aplicar a equação dada para provar isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . Isso significa calcular , e .

Passo 3

Vamos calcular :
Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos calcular :
Novamente, usando a regra do quociente:

Passo 6

Agora que temos , e , vamos substituir na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Juntando os termos:
Simplificando:

Resposta

Portanto, mostramos que . Assim, a função é uma solução da equação diferencial parcial dada em .

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