Prove que é uma solução da equação diferencial parcial
em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função resolve a equação diferencial parcial no espaço sem o ponto . Vamos usar cálculo de derivadas parciais e entender como aplicar a equação dada para provar isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . Isso significa calcular , e .
Passo 3
Vamos calcular :
Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos calcular :
Novamente, usando a regra do quociente:
Passo 6
Agora que temos , e , vamos substituir na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Juntando os termos:
Simplificando:
Resposta
Portanto, mostramos que . Assim, a função é uma solução da equação diferencial parcial dada em .