Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
a) f(x, y) = ln(x^2 + y - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de derivadas parciais. A função que a gente tem é . Aqui, a gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como derivar logaritmos e polinômios, além de entender como tratar cada variável de forma independente.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando derivamos parcialmente em relação a , tratamos como uma constante.
A função é . A derivada do logaritmo natural em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:
A derivada de em relação a é , e as outras partes são constantes em relação a . Então:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
A função continua sendo . Usando a mesma regra da cadeia:
A derivada de em relação a é , e são constantes em relação a . Então:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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