Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de derivadas parciais. A função que a gente tem é
. Aqui, a gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como derivar logaritmos e polinômios, além de entender como tratar cada variável de forma independente.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos parcialmente em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é
. A derivada do logaritmo natural
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia:
A derivada de
em relação a
é
, e as outras partes
são constantes em relação a
. Então:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante.
A função continua sendo
. Usando a mesma regra da cadeia:
A derivada de
em relação a
é
, e
são constantes em relação a
. Então:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e
Exercícios relacionados
i. Prove que
e
são soluções do sistema dado.
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
o)
o)
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
b)
b)
Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.