Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
f) f(x, y) = 2 e^(4 x) ln(1/2 x y^3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos encontrar as suas derivadas parciais em relação a e a . Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções exponenciais e logarítmicas, além da regra do produto e da regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é um produto de e . Para derivar isso, usamos a regra do produto:
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Substituindo de volta na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usando a regra do produto:
Primeiro, derivamos em relação a :
A derivada de em relação a é zero, já que não depende de :
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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