Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada uma das funções:
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso quer dizer que vamos calcular como a função muda quando variamos uma variável (x ou y) duas vezes. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções exponenciais e lembrar como tirar derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
.
Derivando cada termo:
- Para
: Tratando como constante, a derivada de é , então:
- Para
: Aqui, é constante em relação a , então a derivada de é 2:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente
em relação a
para encontrar
.
Derivando cada termo:
- Para
:
- Para
: Não há , então a derivada é 0.
Assim,
Passo 4
Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando cada termo:
- Para
: A derivada de em relação a é 1, então:
- Para
: Aqui, a derivada de em relação a é , então:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos derivar novamente
em relação a
para encontrar
.
Derivando cada termo:
-
Para
: Não há , então a derivada é 0. -
Para
: A derivada de é , então:
Assim,
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada parcial mista
. Podemos fazer isso derivando
em relação a
.
Derivando cada termo:
- Para
:
- Para
:
Portanto,
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em
e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
c)
c)
Verifique se a função
é contínua em ( 0,0 ).
Seja
. Use o Teorema de Stokes para calcular
onde
é o hemisfério
com
e
é a normal vetorial externa
.