Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada uma das funções:

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso quer dizer que vamos calcular como a função muda quando variamos uma variável (x ou y) duas vezes. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções exponenciais e lembrar como tirar derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , que chamamos de .
Derivando cada termo:
  • Para : Tratando como constante, a derivada de é , então:
  • Para : Aqui, é constante em relação a , então a derivada de é 2:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar .
Derivando cada termo:
  • Para :
  • Para : Não há , então a derivada é 0.
Assim,

Passo 4

Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando cada termo:
  • Para : A derivada de em relação a é 1, então:
  • Para : Aqui, a derivada de em relação a é , então:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar .
Derivando cada termo:
  • Para : Não há , então a derivada é 0.
  • Para : A derivada de é , então:
Assim,

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada parcial mista . Podemos fazer isso derivando em relação a .
Derivando cada termo:
  • Para :
  • Para :
Portanto,

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

Exercícios relacionados

Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
c)
Verifique se a função é contínua em ( 0,0 ).
Seja . Use o Teorema de Stokes para calcular
onde é o hemisfério com e é a normal vetorial externa .