Verifique se a função f é contínua em ( 0,0 ).
f(x, y) = { 1 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 1, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, precisamos entender o que é continuidade em um ponto e como calcular limites de funções de duas variáveis.

Passo 2

Continuidade em um ponto: Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de existe e é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:

Passo 3

No nosso caso, queremos verificar a continuidade em . A função está definida como:
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de :

Passo 5

Vamos analisar esse limite. À medida que se aproxima de , os valores de ficam cada vez menores, aproximando-se de zero. Isso faz com que o denominador da fração fique muito pequeno, o que faz com que o valor da função cresça sem limite.

Passo 6

Matematicamente, podemos ver que:
Isso significa que o limite não existe de forma finita.

Passo 7

Como o limite de quando se aproxima de não existe ou é infinito, e sabemos que , não temos:
Portanto, a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua no ponto .

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