Verifique se a função
é contínua em ( 0,0 ).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se a função
é contínua no ponto
. Para isso, precisamos entender o que é continuidade em um ponto e como calcular limites de funções de duas variáveis.
Passo 2
Continuidade em um ponto: Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Passo 3
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em
. A função está definida como:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Passo 5
Vamos analisar esse limite. À medida que
se aproxima de
, os valores de
ficam cada vez menores, aproximando-se de zero. Isso faz com que o denominador da fração
fique muito pequeno, o que faz com que o valor da função cresça sem limite.
Passo 6
Matematicamente, podemos ver que:
Isso significa que o limite não existe de forma finita.
Passo 7
Como o limite de
quando
se aproxima de
não existe ou é infinito, e sabemos que
, não temos:
Portanto, a função
não é contínua em
.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
.
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