Verifique se a função é contínua em ( 0,0 ).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se a função é contínua no ponto . Para isso, precisamos entender o que é continuidade em um ponto e como calcular limites de funções de duas variáveis.

Passo 2

Continuidade em um ponto: Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de existe e é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:

Passo 3

No nosso caso, queremos verificar a continuidade em . A função está definida como:
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de :

Passo 5

Vamos analisar esse limite. À medida que se aproxima de , os valores de ficam cada vez menores, aproximando-se de zero. Isso faz com que o denominador da fração fique muito pequeno, o que faz com que o valor da função cresça sem limite.

Passo 6

Matematicamente, podemos ver que:
Isso significa que o limite não existe de forma finita.

Passo 7

Como o limite de quando se aproxima de não existe ou é infinito, e sabemos que , não temos:
Portanto, a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
j)
Determine e esboce o domínio de cada uma das funções:
Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
c)
Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada uma das funções: