Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Maclaurin para a função e verificar se essa série realmente representa a função. Então, vamos falar sobre séries de Taylor/Maclaurin e como elas são usadas para aproximar funções. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função seno e aplicar algumas substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Maclaurin. É um caso especial da série de Taylor, onde a expansão é feita em torno de . A série de Maclaurin para uma função é dada por:
No caso da função seno, sabemos que a série de Maclaurin é:

Passo 3

Agora, como o nosso não é , mas sim , vamos substituir por na série de Maclaurin da função seno. Assim, temos:

Passo 4

Vamos simplificar um pouquinho essa expressão para deixar mais clara:
Isso significa que cada termo da série tem a forma , onde começa do 0 e vai até o infinito.

Passo 5

Finalmente, para verificar se a função é igual à sua série de Maclaurin, observamos que a série que encontramos converge para para todo real. Isso acontece porque a série de Maclaurin para o seno converge para a função seno em todo o domínio real.

Resposta

A série de Maclaurin para é dada por:
E, de fato, a função é igual à sua série de Maclaurin para todo real.

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j)
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