Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em
e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a série de Maclaurin para a função
e verificar se essa série realmente representa a função. Então, vamos falar sobre séries de Taylor/Maclaurin e como elas são usadas para aproximar funções. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função seno e aplicar algumas substituições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Maclaurin. É um caso especial da série de Taylor, onde a expansão é feita em torno de
. A série de Maclaurin para uma função
é dada por:
No caso da função seno, sabemos que a série de Maclaurin é:
Passo 3
Agora, como o nosso
não é
, mas sim
, vamos substituir
por
na série de Maclaurin da função seno. Assim, temos:
Passo 4
Vamos simplificar um pouquinho essa expressão para deixar mais clara:
Isso significa que cada termo da série tem a forma
, onde
começa do 0 e vai até o infinito.
Passo 5
Finalmente, para verificar se a função
é igual à sua série de Maclaurin, observamos que a série que encontramos converge para
para todo
real. Isso acontece porque a série de Maclaurin para o seno converge para a função seno em todo o domínio real.
Resposta
A série de Maclaurin para
é dada por:
E, de fato, a função
é igual à sua série de Maclaurin para todo
real.
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é contínua em ( 0,0 ).
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j)
j)
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