Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais: .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinarmos as derivadas das funções vetoriais dadas. Aqui estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com a derivação de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções escalares e aplicar essa derivada a cada componente do vetor.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos cada componente da função vetorial :
Temos três componentes:

Passo 3

Vamos derivar cada componente em relação a .
Para :
Usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então:

Passo 4

Para :
A derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Para :
Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de é , onde . Então:

Resposta

Portanto, a derivada da função vetorial é:
Ou simplificando:

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Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
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Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais: ;