Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinarmos as derivadas das funções vetoriais dadas. Aqui estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com a derivação de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções escalares e aplicar essa derivada a cada componente do vetor.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos cada componente da função vetorial
:
Temos três componentes:
Passo 3
Vamos derivar cada componente em relação a
.
Para
:
Usamos a regra da cadeia. A derivada de é
, onde
. Então:
Usamos a regra da cadeia. A derivada de
Passo 4
Para
:
A derivada de uma constante é zero.
A derivada de uma constante é zero.
Passo 5
Para
:
Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de é
, onde
. Então:
Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de
Resposta
Portanto, a derivada da função vetorial
é:
Ou simplificando:
Exercícios relacionados
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais:
;