Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais:
;
Passo 1
Vamos resolver a derivada da função vetorial dada:
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar cada componente da função vetorial individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a componente na direção de
, que é
. A derivada dessa parte em relação a
é simplesmente a derivada de uma função linear. Sabemos que a derivada de
é
e a derivada de
é
. Então, a derivada da primeira componente é
.
Passo 3
Agora, vamos para a componente na direção de
, que é
. Aqui, aplicamos a regra do poder para derivadas. A derivada de
em relação a
é
. Portanto, a derivada de
é
. Assim, a derivada da segunda componente é
.
Passo 4
Por fim, examinamos a componente na direção de
, que é
. Podemos reescrever isso como
para facilitar a derivação. Usando novamente a regra do poder, a derivada de
é
. Portanto, a derivada da terceira componente é
.
Resposta
A derivada da função vetorial é:
Exercícios relacionados
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais:
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Calcule
e
para a função definida por partes e esboce o gráfico da função:
(a)
(a)