Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais: r(t) = (2 - t) i + t^3 j - 1/t k;

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função vetorial dada: r(t) = (2 - t) i + t^3 j - 1/t k. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar cada componente da função vetorial individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente na direção de , que é . A derivada dessa parte em relação a t é simplesmente a derivada de uma função linear. Sabemos que a derivada de é 0 e a derivada de é -1. Então, a derivada da primeira componente é .

Passo 3

Agora, vamos para a componente na direção de , que é . Aqui, aplicamos a regra do poder para derivadas. A derivada de t^n em relação a t é . Portanto, a derivada de é . Assim, a derivada da segunda componente é .

Passo 4

Por fim, examinamos a componente na direção de k, que é . Podemos reescrever isso como para facilitar a derivação. Usando novamente a regra do poder, a derivada de é . Portanto, a derivada da terceira componente é .

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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