Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais: ;

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função vetorial dada: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar cada componente da função vetorial individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente na direção de , que é . A derivada dessa parte em relação a é simplesmente a derivada de uma função linear. Sabemos que a derivada de é e a derivada de é . Então, a derivada da primeira componente é .

Passo 3

Agora, vamos para a componente na direção de , que é . Aqui, aplicamos a regra do poder para derivadas. A derivada de em relação a é . Portanto, a derivada de é . Assim, a derivada da segunda componente é .

Passo 4

Por fim, examinamos a componente na direção de , que é . Podemos reescrever isso como para facilitar a derivação. Usando novamente a regra do poder, a derivada de é . Portanto, a derivada da terceira componente é .

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais: .
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Calcule e para a função definida por partes e esboce o gráfico da função:
(a)