Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar **indução matemática** para mostrar que a soma é **menor que** para todo número natural . Então, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso base, que geralmente é quando . Vamos calcular:
E comparar com . Então,
Viu? Está certinho! Isso significa que o caso base funciona.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Essa é a nossa **hipótese de indução**. Ou seja, vamos supor que:
Estamos assumindo que isso é verdade para e vamos usar isso para provar que também é verdadeiro para .
Passo 4
Vamos provar para . A soma até fica:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que:
Então, adicionando dos dois lados:
Mas queremos mostrar que isso é menor que . Sabemos que:
E,
Claramente,
Portanto,
Isso confirma que a afirmação é válida para .
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo ,