Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar indução matemática para mostrar que a soma
é menor que
para todo número natural
. Então, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso base, que geralmente é quando
. Vamos calcular:
E comparar com
. Então,
Viu? Está certinho! Isso significa que o caso base funciona.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Essa é a nossa hipótese de indução. Ou seja, vamos supor que:
Estamos assumindo que isso é verdade para
e vamos usar isso para provar que também é verdadeiro para
.
Passo 4
Vamos provar para
. A soma até
fica:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que:
Então, adicionando
dos dois lados:
Mas queremos mostrar que isso é menor que
. Sabemos que:
E,
Claramente,
Portanto,
Isso confirma que a afirmação é válida para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo
,