Usando indução, mostre as seguintes afirmações: 10^0 + 10^1 + ... + 10^n < 10^(n+1) para n in N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar indução matemática para mostrar que a soma é menor que para todo número natural . Então, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso base, que geralmente é quando . Vamos calcular:
E comparar com . Então,
Viu? Está certinho! Isso significa que o caso base funciona.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Essa é a nossa hipótese de indução. Ou seja, vamos supor que:
Estamos assumindo que isso é verdade para e vamos usar isso para provar que também é verdadeiro para .

Passo 4

Vamos provar para . A soma até fica:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que:
Então, adicionando dos dois lados:
Mas queremos mostrar que isso é menor que . Sabemos que:
E,
Claramente,
Portanto,
Isso confirma que a afirmação é válida para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo ,

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