Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar **indução matemática** para mostrar que a soma é **menor que** para todo número natural . Então, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso base, que geralmente é quando . Vamos calcular: E comparar com . Então, Viu? Está certinho! Isso significa que o caso base funciona.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Essa é a nossa **hipótese de indução**. Ou seja, vamos supor que: Estamos assumindo que isso é verdade para e vamos usar isso para provar que também é verdadeiro para .

Passo 4

Vamos provar para . A soma até fica: Pela nossa hipótese de indução, sabemos que: Então, adicionando dos dois lados: Mas queremos mostrar que isso é menor que . Sabemos que: E, Claramente, Portanto, Isso confirma que a afirmação é válida para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo ,

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