Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, para todo número inteiro maior ou igual a 7, o fatorial de (que é ) é maior ou igual a . Vamos usar indução matemática para resolver isso. Precisamos verificar o caso inicial (quando ) e depois mostrar que se a afirmação vale para um número qualquer , ela também vale para .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando . Vamos calcular e :
Vendo bem, , então a afirmação vale para . Isso confirma o nosso caso base.

Passo 3

Agora, partimos para o passo indutivo. Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número , ou seja, que . Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Queremos mostrar que, com essa hipótese, a afirmação também vale para . Vamos calcular :
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que . Então:
Queremos que isso seja maior ou igual a . Sabemos que:
Então, para garantir que , basta que:
Dividindo ambos os lados por (que é positivo), sobra:
Como , temos que , que é claramente maior que 3. Portanto, .

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que para todo , .

Exercícios relacionados

Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais: .
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .
Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais: ;
Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .