Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, para todo número inteiro
maior ou igual a 7, o fatorial de
(que é
) é maior ou igual a
. Vamos usar indução matemática para resolver isso. Precisamos verificar o caso inicial (quando
) e depois mostrar que se a afirmação vale para um número qualquer
, ela também vale para
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando
. Vamos calcular
e
:
Vendo bem,
, então a afirmação vale para
. Isso confirma o nosso caso base.
Passo 3
Agora, partimos para o passo indutivo. Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número
, ou seja, que
. Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Queremos mostrar que, com essa hipótese, a afirmação também vale para
. Vamos calcular
:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que
. Então:
Queremos que isso seja maior ou igual a
. Sabemos que:
Então, para garantir que
, basta que:
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo), sobra:
Como
, temos que
, que é claramente maior que 3. Portanto,
.
Resposta
Assim, por indução matemática, mostramos que para todo
,
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais:
.
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Determine as derivadas das seguintes funções vetoriais:
;
Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.