Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que as funções e são ortogonais no intervalo . A gente vai usar o conceito de ortogonalidade de funções, que faz parte da matéria de Análise de Funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral do produto dessas duas funções nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa duas funções serem ortogonais no contexto de funções. Duas funções e são ortogonais em um intervalo se o produto interno delas for igual a zero nesse intervalo. Matematicamente, isso é representado por:
Isso basicamente significa que, na “direção” dessas funções no espaço de funções, elas são perpendiculares entre si.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral do produto das funções e no intervalo :
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes ou lembrar de uma fórmula conhecida para integrar produtos de exponenciais e funções trigonométricas. A fórmula que vamos usar é:
No nosso caso, e , então a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar os limites de integração e na expressão que encontramos: