Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
f) f1(x) = e^x, f2(x) = sen x, [pi/4, 5pi/4]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que as funções e são ortogonais no intervalo . A gente vai usar o conceito de ortogonalidade de funções, que faz parte da matéria de Análise de Funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral do produto dessas duas funções nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas funções serem ortogonais no contexto de funções. Duas funções e são ortogonais em um intervalo se o produto interno delas for igual a zero nesse intervalo. Matematicamente, isso é representado por:
Isso basicamente significa que, na “direção” dessas funções no espaço de funções, elas são perpendiculares entre si.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral do produto das funções e no intervalo :
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes ou lembrar de uma fórmula conhecida para integrar produtos de exponenciais e funções trigonométricas. A fórmula que vamos usar é:
No nosso caso, e , então a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração e na expressão que encontramos:
Primeiro, calculamos para :
Sabendo que:
Então:
Fazendo o mesmo para :
Portanto, a integral fica:

Resposta

As funções e são ortogonais no intervalo .

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Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
d) f1(x) = x^3, f2(x) = x^2 + 1, [-1, 1]
Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
g) f(x) = { x, 0 < x < 1; 1, 1 <= x < 2 }
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
b) {cos(x), cos(3x), cos(5x), ...}, [0, pi/2]
Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
b) L0(x)=1, L1(x)=-x+1, L2(x)=1/2 x^2 - 2 x + 1 ; w(x)=e^(-x), [0, infinito)