Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
d) f1(x) = x^3, f2(x) = x^2 + 1, [-1, 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que as funções e são ortogonais no intervalo . Isso tá ligado ao conceito de ortogonalidade de funções, que basicamente diz que duas funções são ortogonais se a integral do produto delas no intervalo dado for zero. Então, vamos precisar calcular essa integral e ver se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar o produto das duas funções:

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral que precisa ser calculada no intervalo de a :

Passo 4

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:

Passo 5

Vamos integrar cada termo:
  1. Para :
Avaliado de a :
  1. Para :
Avaliado de a :

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais:

Resposta

Como a integral do produto das funções e no intervalo deu zero, concluímos que elas são ortogonais nesse intervalo.

Exercícios relacionados

Determine desenvolvimentos de meio-intervalo em senos e cossenos para a função dada.
g) f(x) = { x, 0 < x < 1; 1, 1 <= x < 2 }
Desenvolva a função dada em uma série de cossenos ou senos, conforme o caso.
k) f(x) = { 1, -2 < x < -1; -x, -1 <= x < 1; x, 0 <= x < 1; 1, 1 <= x < 2 }
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
f) f1(x) = e^x, f2(x) = sen x, [pi/4, 5pi/4]
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
b) {cos(x), cos(3x), cos(5x), ...}, [0, pi/2]