Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que as funções e são ortogonais no intervalo . Isso tá ligado ao conceito de ortogonalidade de funções, que basicamente diz que duas funções são ortogonais se a integral do produto delas no intervalo dado for zero. Então, vamos precisar calcular essa integral e ver se o resultado é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos montar o produto das duas funções:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral que precisa ser calculada no intervalo de a :
Passo 4
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 5
Vamos integrar cada termo:
Para :
Avaliado de a :
Para :
Avaliado de a :
Passo 6
Somando os resultados das duas integrais:
Resposta
Como a integral do produto das funções e no intervalo deu zero, concluímos que elas são ortogonais nesse intervalo.