Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
d) f1(x) = x^3, f2(x) = x^2 + 1, [-1, 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que as funções e são ortogonais no intervalo . Isso tá ligado ao conceito de ortogonalidade de funções, que basicamente diz que duas funções são ortogonais se a integral do produto delas no intervalo dado for zero. Então, vamos precisar calcular essa integral e ver se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar o produto das duas funções:

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral que precisa ser calculada no intervalo de a :

Passo 4

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:

Passo 5

Vamos integrar cada termo:
  1. Para :
Avaliado de a :
  1. Para :
Avaliado de a :

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais:

Resposta

Como a integral do produto das funções e no intervalo deu zero, concluímos que elas são ortogonais nesse intervalo.

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