Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que as funções
e
são ortogonais no intervalo
. Isso tá ligado ao conceito de ortogonalidade de funções, que basicamente diz que duas funções são ortogonais se a integral do produto delas no intervalo dado for zero. Então, vamos precisar calcular essa integral e ver se o resultado é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos montar o produto das duas funções:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral que precisa ser calculada no intervalo de
a
:
Passo 4
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 5
Vamos integrar cada termo:
- Para
:
Avaliado de
a
:
- Para
:
Avaliado de
a
:
Passo 6
Somando os resultados das duas integrais:
Resposta
Como a integral do produto das funções
e
no intervalo
deu zero, concluímos que elas são ortogonais nesse intervalo.