Determine a diferença de potencial que existe entre r=0 e r=a e entre r=a e r=b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar a diferença de potencial entre dois pares de pontos: de até e de até . Estamos lidando com Eletrostática, especificamente com o conceito de potencial elétrico em torno de uma distribuição de carga esférica. Para resolver isso, vamos precisar entender como o potencial varia com a distância em relação ao centro dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr em um ponto devido a uma carga distribuída de maneira esférica pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui, é a carga total e é a permissividade do vácuo. Essa fórmula é válida para pontos fora da distribuição de carga, ou seja, quando .

Passo 3

Para V(r) = 14pivarepsilon0 cdot ( 3Q2a - Q r^22a^3 ) , ou seja, dentro da distribuição de carga, a expressão para o potencial muda. Assumindo que a carga é distribuída uniformemente, o potencial dentro da esfera é dado por:
Essa expressão leva em conta a contribuição da carga dentro de .

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença de potencial entre V(a) = 14pivarepsilon0 cdot ( 3Q2a - Q a^22a^3 ) = 14pivarepsilon0 cdot 3Q2a - Q2a e V(a) = 14pivarepsilon0 cdot Q2a . Usando a fórmula para dentro da esfera:
De
Simplificando:
Como tende a , a diferença de potencial entre e é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença de potencial entre V(b) = 14pivarepsilon0 cdot Qb e De, onde . Usando a fórmula para fora da esfera:
A diferença de potencial entre e é:

Resposta

A diferença de potencial entre e é e entre e é .

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