Um disco uniforme, de raio R, massa M e momento de inércia I=M R^2 / 2 está montado em um eixo suportado por mancais fixos e sem atrito. Enrola-se uma corda leve em torno da borda e suspenda um corpo de massa m, para o corpo se mover.
b) Calcule a aceleração tangencial de um ponto da borda do disco

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos um disco uniforme com raio R, massa M e momento de inércia I = M R^22. Esse disco está montado em um eixo sem atrito. Enrolamos uma corda leve na borda do disco e suspendemos um corpo de massa m para que ele se mova. Nosso objetivo é calcular a aceleração tangencial de um ponto na borda do disco.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com Dinâmica Rotacional, que envolve conceitos como momento de inércia, torque e aceleração angular.
O que vamos precisar: Conhecer a relação entre torque e momento de inércia, entender como a aceleração angular está relacionada com a aceleração tangencial, e aplicar as leis de Newton para movimentos rotacionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas. O corpo de massa m está sendo puxado para baixo pela gravidade, com força F = m g, onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Como a corda está enrolada na borda do disco, a força de tensão T na corda causa um torque no disco. O torque ( tau) é dado por:
tau = T cdot R
onde R é o raio do disco.

Passo 4

Segundo a segunda lei de Newton para rotação, o torque total é igual ao momento de inércia I multiplicado pela aceleração angular alpha:
tau = I cdot alpha
Substituindo o momento de inércia do disco, temos:
T cdot R = M R^22 cdot alpha

Passo 5

Resolvendo para a aceleração angular alpha:
alpha = 2 TM R

Passo 6

Agora, relacionamos a aceleração angular alpha com a aceleração tangencial at na borda do disco. A aceleração tangencial é dada por:
at = alpha cdot R
Substituindo alpha na equação:
at = 2 TM R cdot R = 2 TM

Passo 7

Vamos agora utilizar a segunda lei de Newton para o movimento do corpo de massa m. A força resultante é:
m g - T = m a
onde a é a aceleração do corpo, que é igual à aceleração tangencial at do disco:
m g - T = m at

Passo 8

Resolvendo para T:
T = m g - m at

Passo 9

Substituindo T na equação da aceleração tangencial:
at = 2 (m g - m at)M

Passo 10

Isolando at:
at + 2 m atM = 2 m gM
at (1 + 2 mM) = 2 m gM
at = 2 m gM (1 + 2 mM) = 2 m gM + 2 m

Resposta

A aceleração tangencial de um ponto na borda do disco é:
at = 2 m gM + 2 m

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