Determine se a diferença simétrica é associativa, ou seja, se e são conjuntos, temos que ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a diferença simétrica é associativa. Isso significa verificar se, dado três conjuntos , e , vale que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a diferença simétrica e depois testar essa propriedade de associatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é diferença simétrica entre dois conjuntos. A diferença simétrica entre e , escrita como , é o conjunto dos elementos que estão em ou em , mas não em ambos simultaneamente. Em fórmulas, fica assim:
Isso ajuda a visualizar quais elementos estão apenas em um dos conjuntos, excluindo os que estão nos dois.

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da equação: . Primeiro, calculamos :
Depois, fazemos a diferença simétrica entre e esse resultado:

Passo 4

Agora, vamos olhar o lado direito: . Primeiro, calculamos :
Depois, fazemos a diferença simétrica entre esse resultado e :

Passo 5

Para verificar se os dois lados são iguais, precisamos perceber que, com propriedades de união e interseção, ambos os lados resultam nos mesmos elementos. Ou seja, independentemente da ordem em que agrupamos os conjuntos para aplicar a diferença simétrica, o resultado final será o conjunto dos elementos que estão em um número ímpar de conjuntos entre , e .

Resposta

Sim, a diferença simétrica é associativa. Portanto, para quaisquer conjuntos , e , temos:

Exercícios relacionados

Mostre que se e são conjuntos, então
.
Desenhe o diagrama de Venn para cada uma das combinações abaixo dos conjuntos e .
Considere . Encontre
.