Determine se a diferença simétrica é associativa, ou seja, se
e
são conjuntos, temos que
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a diferença simétrica é associativa. Isso significa verificar se, dado três conjuntos
,
e
, vale que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a diferença simétrica e depois testar essa propriedade de associatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é diferença simétrica entre dois conjuntos. A diferença simétrica entre
e
, escrita como
, é o conjunto dos elementos que estão em
ou em
, mas não em ambos simultaneamente. Em fórmulas, fica assim:
Isso ajuda a visualizar quais elementos estão apenas em um dos conjuntos, excluindo os que estão nos dois.
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado esquerdo da equação:
. Primeiro, calculamos
:
Depois, fazemos a diferença simétrica entre
e esse resultado:
Passo 4
Agora, vamos olhar o lado direito:
. Primeiro, calculamos
:
Depois, fazemos a diferença simétrica entre esse resultado e
:
Passo 5
Para verificar se os dois lados são iguais, precisamos perceber que, com propriedades de união e interseção, ambos os lados resultam nos mesmos elementos. Ou seja, independentemente da ordem em que agrupamos os conjuntos para aplicar a diferença simétrica, o resultado final será o conjunto dos elementos que estão em um número ímpar de conjuntos entre
,
e
.
Resposta
Sim, a diferença simétrica é associativa. Portanto, para quaisquer conjuntos
,
e
, temos:
Exercícios relacionados
Mostre que se
e
são conjuntos, então
.
Desenhe o diagrama de Venn para cada uma das combinações abaixo dos conjuntos
e
.
Considere
. Encontre
.