Mostre que se
e
são conjuntos, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se
e
são conjuntos, então
. A matéria que estamos lidando aqui é a Teoria dos Conjuntos, mais especificamente a operação de diferença simétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a diferença simétrica e as propriedades básicas dos conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa
. A diferença simétrica entre dois conjuntos
e
é o conjunto dos elementos que estão em
ou em
, mas não em ambos ao mesmo tempo. Matematicamente, podemos escrever isso como:
Aqui,
representa a união dos conjuntos e
representa a interseção.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para
:
E para
:
Passo 4
Observamos que a união e a interseção são operações comutativas, ou seja:
Isso significa que podemos reescrever
usando essas propriedades:
Passo 5
Comparando as duas expressões que obtivemos:
Isso mostra que
é igual a
.
Resposta
Assim, demonstramos que
.
Exercícios relacionados
Desenhe o diagrama de Venn para cada uma das combinações abaixo dos conjuntos
e
.
Considere
e
. Encontre
Determine se a diferença simétrica é associativa, ou seja, se
e
são conjuntos, temos que
?
Considere
. Encontre
.