Determine a dimensão calculando uma base explícita com sua respectiva prova de:
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como
-espaço vetorial.
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar a dimensão do conjunto dos números complexos
quando os tratamos como um espaço vetorial sobre o conjunto dos números racionais
. Para isso, vamos precisar encontrar uma base explícita para esse espaço vetorial e provar que ela realmente é uma base. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como definição de espaço vetorial, base, e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
é um espaço vetorial sobre
. Isso quer dizer que podemos combinar números complexos usando operações de adição e multiplicação por escalares que são números racionais. Ou seja, nossos “escalas” são racionais, e não números reais ou complexos.
Passo 3
Agora, para encontrar uma base explícita, precisamos achar um conjunto de números complexos que seja linearmente independente sobre
e que gere todo o espaço
através de combinações lineares com coeficientes racionais. Em outras palavras, qualquer número complexo deve poder ser escrito como uma soma finita de múltiplos racionais de elementos da base.
Passo 4
Vamos considerar que todo número complexo pode ser escrito na forma
, onde
e
são números reais e
é a unidade imaginária. Porém, como estamos trabalhando sobre
, precisamos que
e
sejam expressos em termos de números racionais.
Passo 5
Para que a base seja explícita, podemos tomar os elementos
e
como candidatos. Vamos verificar se eles são linearmente independentes sobre
e se geram todo o espaço
.
Passo 6
Primeiro, verificamos a linearidade independente. Suponha que exista uma combinação linear
, onde
. Isso implica que
e
, já que
e
são distintos e não múltiplos um do outro. Portanto,
e
são linearmente independentes sobre
.
Passo 7
Em seguida, mostramos que
e
geram todo o espaço
sobre
. De fato, qualquer número complexo
pode ser escrito como
, onde
. Mas como estamos sobre
,
e
devem ser expressos como combina�es racionais desses elementos. Isso confirma que
e
geram
sobre
.
Passo 8
Portanto, o conjunto
é uma base de
como espaço vetorial sobre
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de elementos da sua base. Como nossa base tem dois elementos, concluímos que a dimensão de
sobre
é 2.
Resposta
A dimensão de
como
-espaço vetorial é 2, com a base explícita
.