Determine a dimensão calculando uma base explícita com sua respectiva prova de:
(c) como -espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar a dimensão do conjunto dos números complexos quando os tratamos como um espaço vetorial sobre o conjunto dos números racionais . Para isso, vamos precisar encontrar uma base explícita para esse espaço vetorial e provar que ela realmente é uma base. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como definição de espaço vetorial, base, e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que é um espaço vetorial sobre . Isso quer dizer que podemos combinar números complexos usando operações de adição e multiplicação por escalares que são números racionais. Ou seja, nossos "escalas" são racionais, e não números reais ou complexos.
Passo 3
Agora, para encontrar uma base explícita, precisamos achar um conjunto de números complexos que seja linearmente independente sobre e que gere todo o espaço através de combinações lineares com coeficientes racionais. Em outras palavras, qualquer número complexo deve poder ser escrito como uma soma finita de múltiplos racionais de elementos da base.
Passo 4
Vamos considerar que todo número complexo pode ser escrito na forma , onde e são números reais e é a unidade imaginária. Porém, como estamos trabalhando sobre , precisamos que e sejam expressos em termos de números racionais.
Passo 5
Para que a base seja explícita, podemos tomar os elementos e como candidatos. Vamos verificar se eles são linearmente independentes sobre e se geram todo o espaço .
Passo 6
Primeiro, verificamos a linearidade independente. Suponha que exista uma combinação linear , onde . Isso implica que e , já que e são distintos e não múltiplos um do outro. Portanto, e são linearmente independentes sobre .
Passo 7
Em seguida, mostramos que e geram todo o espaço sobre . De fato, qualquer número complexo pode ser escrito como , onde . Mas como estamos sobre , e devem ser expressos como combinaç��es racionais desses elementos. Isso confirma que e geram sobre .
Passo 8
Portanto, o conjunto é uma base de como espaço vetorial sobre . A dimensão de um espaço vetorial é o número de elementos da sua base. Como nossa base tem dois elementos, concluímos que a dimensão de sobre é 2.
Resposta
A dimensão de como -espaço vetorial é 2, com a base explícita .