Determine a dimensão calculando uma base explícita com sua respectiva prova de:
© C como Q-espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar a dimensão do conjunto dos números complexos C quando os tratamos como um espaço vetorial sobre o conjunto dos números racionais Q. Para isso, vamos precisar encontrar uma base explícita para esse espaço vetorial e provar que ela realmente é uma base. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como definição de espaço vetorial, base, e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que C é um espaço vetorial sobre Q. Isso quer dizer que podemos combinar números complexos usando operações de adição e multiplicação por escalares que são números racionais. Ou seja, nossos “escalas” são racionais, e não números reais ou complexos.

Passo 3

Agora, para encontrar uma base explícita, precisamos achar um conjunto de números complexos que seja linearmente independente sobre Q e que gere todo o espaço C através de combinações lineares com coeficientes racionais. Em outras palavras, qualquer número complexo deve poder ser escrito como uma soma finita de múltiplos racionais de elementos da base.

Passo 4

Vamos considerar que todo número complexo pode ser escrito na forma a + b i, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. Porém, como estamos trabalhando sobre Q, precisamos que a e b sejam expressos em termos de números racionais.

Passo 5

Para que a base seja explícita, podemos tomar os elementos 1 e i como candidatos. Vamos verificar se eles são linearmente independentes sobre Q e se geram todo o espaço C.

Passo 6

Primeiro, verificamos a linearidade independente. Suponha que exista uma combinação linear q1 cdot 1 + q2 cdot i = 0, onde q1, q2 in Q. Isso implica que q1 = 0 e q2 = 0, já que 1 e i são distintos e não múltiplos um do outro. Portanto, 1 e i são linearmente independentes sobre Q.

Passo 7

Em seguida, mostramos que 1 e i geram todo o espaço C sobre Q. De fato, qualquer número complexo z in C pode ser escrito como z = a + b i, onde a, b in R. Mas como estamos sobre Q, a e b devem ser expressos como combinaç��es racionais desses elementos. Isso confirma que 1 e i geram C sobre Q.

Passo 8

Portanto, o conjunto 1, i é uma base de C como espaço vetorial sobre Q. A dimensão de um espaço vetorial é o número de elementos da sua base. Como nossa base tem dois elementos, concluímos que a dimensão de C sobre Q é 2.

Resposta

A dimensão de C como Q-espaço vetorial é 2, com a base explícita 1, i.

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