Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se os vetores e são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) no espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes ou independentes e aplicar esse conceito aos vetores dados.
Passo 2
Primeiro, o que são vetores linearmente dependentes e independentes?
Linearmente Dependentes (L.D.): Dois ou mais vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma constante diferente de zero que multiplica um dos vetores para obter o outro.
Linearmente Independentes (L.I.): Dois ou mais vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que a única solução para a equação que combina esses vetores resultando no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero.
Agora, vamos aplicar isso aos nossos vetores e .
Passo 3
Vamos verificar se existe um escalar tal que . Se encontrarmos um valor de que satisfaz essa equação, os vetores serão linearmente dependentes.
Escrevendo as componentes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver isso:
Da primeira equação, .
Se , a segunda equação seria , o que não é verdade.
A terceira equação também não é satisfeita com .
Como não conseguimos encontrar um valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente, isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.
Passo 4
Como não existe um escalar diferente de zero que satisfaça , concluímos que os vetores e são linearmente independentes. Isso significa que nenhum dos vetores depende linearmente do outro no espaço 𝕜.
Resposta
Os vetores e são linearmente independentes (L.I.).