Seja u, v, w um conjunto LI. Qual deve ser o valor de m para que o conjunto u+v+w, u-v, 6 u+m v+m w seja LD?
a) -2
b) -6
c) 0
d) 2
e) 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto de três vetores que são linearmente independentes (LI). Queremos descobrir o valor de tal que o novo conjunto seja linearmente dependente (LD). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e trabalhar com combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar: um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. No nosso caso, isso significa que existe uma combinação dos vetores , e que resulta no vetor zero, sem que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 3

Vamos montar essa combinação linear:
alpha(u+v+w) + beta(u-v) + gamma(6u+mv+mw) = 0
Expandindo os termos:
alphau + alphav + alphaw + betau - betav + 6gammau + mgammav + mgammaw = 0

Passo 4

Agora, agrupamos os coeficientes de (alpha + beta + 6gamma)u + (alpha - beta + mgamma)v + (alpha + mgamma)w = 0 , alpha + beta + 6gamma = 0 alpha - beta + mgamma = 0 alpha + mgamma = 0 e :
Como são LI, os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação:
alpha = -mgamma
Substituindo (-mgamma) - beta + mgamma = 0 implies -beta = 0 implies beta = 0 na segunda equação:
(-mgamma) + 0 + 6gamma = 0 implies (-m + 6)gamma = 0
Agora, substituindo e na primeira equação:

Passo 6

Queremos uma solução não trivial, ou seja, -m + 6 = 0 implies m = 6 . Portanto:

Resposta

O valor de que torna o conjunto linearmente dependente é 6.

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