Seja um conjunto LI. Qual deve ser o valor de para que o conjunto seja LD?
a) -2
b) -6
c) 0
d) 2
e) 6
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto de três vetores que são linearmente independentes (LI). Queremos descobrir o valor de tal que o novo conjunto seja linearmente dependente (LD). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e trabalhar com combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar: um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. No nosso caso, isso significa que existe uma combinação dos vetores , e que resulta no vetor zero, sem que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 3
Vamos montar essa combinação linear:
Expandindo os termos:
Passo 4
Agora, agrupamos os coeficientes de , e :
Como são LI, os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Passo 6
Queremos uma solução não trivial, ou seja, . Portanto:
Resposta
O valor de que torna o conjunto linearmente dependente é 6.