Sejam A(2,1,3), B(m, 3,5) e C(0,4,1) vértices de um triângulo.
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
d) Mostrar que AH perp BC.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com os vértices em A(2,1,3), B(m,3,5) e C(0,4,1). O exercício pede para responder várias perguntas sobre ele. O conteúdo que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especialmente a parte que trata de vetores e ângulos entre vetores. Vamos precisar calcular distâncias, usar o produto escalar e entender como identificar se um triângulo é retângulo em algum vértice.

Passo 2

a) Para que valor de AB = (m - 2, 3 - 1, 5 - 3) = (m - 2, 2, 2) o triângulo ABC é retângulo em A?
Primeiro, um triângulo é retângulo em A se os vetores AC = (0 - 2, 4 - 1, 1 - 3) = (-2, 3, -2) e AB cdot AC = (m - 2)(-2) + (2)(3) + (2)(-2) = -2(m - 2) + 6 - 4 forem perpendiculares. Para verificar a perpendicularidade, usamos o produto escalar: dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.
Vamos calcular os vetores:
-2m + 4 + 6 - 4 = -2m + 6
-2m + 6 = 0 implies -2m = -6 implies m = 3
Agora, calculamos o produto escalar:
Simplificando:
Para que seja retângulo em A:

Passo 3

Resposta

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