Sejam e vértices de um triângulo.
a) Para que valor de o triângulo ABC é retângulo em A?
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
d) Mostrar que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com os vértices em A(2,1,3), B(m,3,5) e C(0,4,1). O exercício pede para responder várias perguntas sobre ele. O conteúdo que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especialmente a parte que trata de vetores e ângulos entre vetores. Vamos precisar calcular distâncias, usar o produto escalar e entender como identificar se um triângulo é retângulo em algum vértice.
Passo 2
a) Para que valor de AB = (m - 2, 3 - 1, 5 - 3) = (m - 2, 2, 2) o triângulo ABC é retângulo em A?
Primeiro, um triângulo é retângulo em A se os vetores AC = (0 - 2, 4 - 1, 1 - 3) = (-2, 3, -2) e AB cdot AC = (m - 2)(-2) + (2)(3) + (2)(-2) = -2(m - 2) + 6 - 4 forem perpendiculares. Para verificar a perpendicularidade, usamos o produto escalar: dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.