Determine os valores máximos e mínimos locais de
e os pontos de sela da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais da função
e também os pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar os pontos críticos e então determinar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Usando a regra do produto:
De forma similar, a derivada parcial de
em relação a
é:
Aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, da segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar o denominador:
Simplificando:
Multiplicando por -1:
Essa é uma equação quartica que podemos resolver por substituição. Seja
, então:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
ou
. Como
, descartamos
porque não tem solução real. Portanto,
e
.
Agora, encontramos
para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos críticos. Precisamos calcular as derivadas segundas da função
.
As derivadas segundas são:
Passo 5
Com as derivadas segundas, vamos calcular o determinante do hessiano (
) em cada ponto crítico. O hessiano é uma matriz formada pelas derivadas segundas:
Vamos avaliar
em cada ponto:
- Para
:
Então,
Como
, significa que o ponto
é um ponto de sela.
- Para
:
Então,
Novamente,
, então o ponto
também é um ponto de sela.
Resposta
A função
não possui valores máximos ou mínimos locais. Os pontos críticos
e
são pontos de sela.