Determine os valores máximos e mínimos locais de f e os pontos de sela da função: g(x, y) = (x - y)(1 - x * y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais da função e também os pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar os pontos críticos e então determinar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
A derivada parcial de em relação a é:
Usando a regra do produto:
De forma similar, a derivada parcial de em relação a é:
Aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por para eliminar o denominador:
Simplificando:
Multiplicando por -1:
Essa é uma equação quartica que podemos resolver por substituição. Seja , então:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, ou . Como , descartamos porque não tem solução real. Portanto, e .
Agora, encontramos para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos críticos. Precisamos calcular as derivadas segundas da função .
As derivadas segundas são:

Passo 5

Com as derivadas segundas, vamos calcular o determinante do hessiano ( ) em cada ponto crítico. O hessiano é uma matriz formada pelas derivadas segundas:
Vamos avaliar em cada ponto:
  • Para :
Então,
Como , significa que o ponto é um ponto de sela.
  • Para :
Então,
Novamente, , então o ponto também é um ponto de sela.

Resposta

A função não possui valores máximos ou mínimos locais. Os pontos críticos e são pontos de sela.

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