Determine as dimensões das grandezas e na equação abaixo, sabendo que tem dimensão de comprimento e tem dimensão de tempo: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as dimensões das grandezas , , e na equação:
Sabemos que tem dimensão de comprimento ( ) e tem dimensão de tempo ( ). Vamos usar o conceito de análise dimensional para encontrar as dimensões das outras grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma equação física, todos os termos devem ter a mesma dimensão. Então, e o lado direito da equação devem ter dimensão de comprimento.

Passo 3

Vamos analisar cada parte da equação:
  1. : A função exponencial precisa ser adimensional dentro do expoente. Portanto, deve ser adimensional.
  2. : A função seno também requer que seu argumento seja adimensional. Então, deve ser adimensional.

Passo 4

Vamos começar determinando a dimensão de :
De ser adimensional:
Então, a dimensão de é inverso do tempo.

Passo 5

Agora, vamos determinar a dimensão de :
Do termo ser adimensional:
Então, a dimensão de é tempo.

Passo 6

Para ser válido, deve ser adimensional, já que é somado a , que é adimensional.
Portanto, .

Passo 7

Finalmente, vamos determinar a dimensão de :
A equação completa é:
Sabemos que é adimensional e também é adimensional. Portanto, deve ter a mesma dimensão de , que é comprimento.
Então, .

Resposta

As dimensões das grandezas são:

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