Determine as dimensões das grandezas
e
na equação abaixo, sabendo que
tem dimensão de comprimento e
tem dimensão de tempo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as dimensões das grandezas
,
,
e
na equação:
Sabemos que
tem dimensão de comprimento (
) e
tem dimensão de tempo (
). Vamos usar o conceito de análise dimensional para encontrar as dimensões das outras grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma equação física, todos os termos devem ter a mesma dimensão. Então,
e o lado direito da equação devem ter dimensão de comprimento.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da equação:
-
: A função exponencial precisa ser adimensional dentro do expoente. Portanto, deve ser adimensional. -
: A função seno também requer que seu argumento seja adimensional. Então, deve ser adimensional.
Passo 4
Vamos começar determinando a dimensão de
:
De
ser adimensional:
Então, a dimensão de
é inverso do tempo.
Passo 5
Agora, vamos determinar a dimensão de
:
Do termo
ser adimensional:
Então, a dimensão de
é tempo.
Passo 6
Para
ser válido,
deve ser adimensional, já que é somado a
, que é adimensional.
Portanto,
.
Passo 7
Finalmente, vamos determinar a dimensão de
:
A equação completa é:
Sabemos que
é adimensional e
também é adimensional. Portanto,
deve ter a mesma dimensão de
, que é comprimento.
Então,
.
Resposta
As dimensões das grandezas são: