Determine as dimensões das grandezas a, b, theta e c na equação abaixo, sabendo que x tem dimensão de comprimento e t tem dimensão de tempo: x=a e^-b t sen(theta+b^2 c t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as dimensões das grandezas x = a e^-b t sin(theta + b^2 c t) , , e na equação:
Sabemos que tem dimensão de comprimento ( ) e tem dimensão de tempo ( ). Vamos usar o conceito de análise dimensional para encontrar as dimensões das outras grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma equação física, todos os termos devem ter a mesma dimensão. Então, e o lado direito da equação devem ter dimensão de comprimento.

Passo 3

Vamos analisar cada parte da equação:
x = a e^-b t sin(theta + b^2 c t)
  1. : A função exponencial precisa ser adimensional dentro do expoente. Portanto, deve ser adimensional.
  2. : A função seno também requer que seu argumento seja adimensional. Então, deve ser adimensional.

Passo 4

Vamos começar determinando a dimensão de [b][T] = 1 implies [b] = [T]^-1 :
De ser adimensional:
Então, a dimensão de é inverso do tempo.

Passo 5

Agora, vamos determinar a dimensão de [b]^2 [c] [T] = 1 implies ([T]^-1)^2 [c] [T] = [c][T]^-1 = 1 implies [c] = [T] :
Do termo ser adimensional:
Então, a dimensão de é tempo.

Passo 6

Para ser válido, deve ser adimensional, já que é somado a , que é adimensional.
Portanto, .

Passo 7

Finalmente, vamos determinar a dimensão de x = a e^-b t sin(theta + b^2 c t) :
A equação completa é:
Sabemos que é adimensional e também é adimensional. Portanto, deve ter a mesma dimensão de , que é comprimento.
Então, .

Resposta

As dimensões das grandezas são:
[a] = [L] (comprimento) [b] = [T]^-1 (inverso do tempo) [theta] = 1 (adimensional) [c] = [T] (tempo)

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