Determine as dimensões das grandezas e na equação abaixo, sabendo que tem dimensão de comprimento e tem dimensão de tempo: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as dimensões das grandezas , , e na equação:
Sabemos que tem dimensão de comprimento () e tem dimensão de tempo (). Vamos usar o conceito de análise dimensional para encontrar as dimensões das outras grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma equação física, todos os termos devem ter a mesma dimensão. Então, e o lado direito da equação devem ter dimensão de comprimento.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da equação:
: A função exponencial precisa ser adimensional dentro do expoente. Portanto, deve ser adimensional.
: A função seno também requer que seu argumento seja adimensional. Então, deve ser adimensional.
Passo 4
Vamos começar determinando a dimensão de :
De ser adimensional:
Então, a dimensão de é inverso do tempo.
Passo 5
Agora, vamos determinar a dimensão de :
Do termo ser adimensional:
Então, a dimensão de é tempo.
Passo 6
Para ser válido, deve ser adimensional, já que é somado a , que é adimensional.
Portanto, .
Passo 7
Finalmente, vamos determinar a dimensão de :
A equação completa é:
Sabemos que é adimensional e também é adimensional. Portanto, deve ter a mesma dimensão de , que é comprimento.