Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular, sem tampa e com volume igual a
, sendo usada a menor quantidade de material possível em sua fabricação.
Dica: Minimize a função área de superfície.
Dica: Minimize a função área de superfície.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos que encontrar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa que tenha um volume de
. Além disso, queremos usar a menor quantidade de material possível na fabricação dessa caixa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização, especificamente a minimização da função que representa a área da superfície da caixa.
Passo 2
Vamos chamar as dimensões da caixa de
(comprimento),
(largura) e
(altura). Como a caixa não tem tampa, a área da superfície
será composta pela área da base mais as áreas das quatro laterais. A fórmula para a área da superfície é:
Passo 3
Sabemos que o volume
da caixa é dado por:
Podemos usar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para
:
Passo 4
Agora, substituímos a expressão de
na fórmula da área da superfície:
Simplificando:
Passo 5
Para minimizar a área
, vamos usar cálculo diferencial. Precisamos encontrar os valores de
e
que minimizam
. Vamos derivar
em relação a
e
e igualar a zero:
Passo 6
Resolvendo as equações derivadas:
Relacionando as duas equações, percebemos que
. Portanto, a base da caixa deve ser quadrada para minimizar a área.
Passo 7
Assumindo
, substituímos na equação do volume:
Isolando
:
Passo 8
Agora, substituímos
na fórmula da área
:
Para minimizar
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Como
, temos
. Agora, calculamos
:
Resposta
As dimensões que minimizam a quantidade de material usado são:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(33)
(33)
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(23)
(23)
Se
for uma função diferenciável e
e
forem constantes, verifique que
satisfaz a equação diferencial
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(42)
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