Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular, sem tampa e com volume igual a , sendo usada a menor quantidade de material possível em sua fabricação.
Dica: Minimize a função área de superfície.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos que encontrar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa que tenha um volume de . Além disso, queremos usar a menor quantidade de material possível na fabricação dessa caixa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização, especificamente a minimização da função que representa a área da superfície da caixa.

Passo 2

Vamos chamar as dimensões da caixa de (comprimento), (largura) e (altura). Como a caixa não tem tampa, a área da superfície será composta pela área da base mais as áreas das quatro laterais. A fórmula para a área da superfície é:

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Podemos usar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para :

Passo 4

Agora, substituímos a expressão de na fórmula da área da superfície:
Simplificando:

Passo 5

Para minimizar a área , vamos usar cálculo diferencial. Precisamos encontrar os valores de e que minimizam . Vamos derivar em relação a e e igualar a zero:

Passo 6

Resolvendo as equações derivadas:
Relacionando as duas equações, percebemos que . Portanto, a base da caixa deve ser quadrada para minimizar a área.

Passo 7

Assumindo , substituímos na equação do volume:
Isolando :

Passo 8

Agora, substituímos na fórmula da área :
Para minimizar , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Como , temos . Agora, calculamos :

Resposta

As dimensões que minimizam a quantidade de material usado são:

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