Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(33)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular a integral:
Esse exercício está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente ao método da substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifique a integral.

Passo 2

Vamos aplicar o método da substituição, que é útil quando a integral contém uma função composta. A ideia é escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a função , percebemos que o expoente é uma função quadrática.
Escolhemos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Rearranjando, temos:
Podemos fatorar o 2:

Passo 4

Queremos expressar em termos de . Dividindo ambos os lados da equação por 2:

Passo 5

Substituímos e na integral original:
Simplificando, tiramos a constante para fora da integral:

Passo 6

A integral de em relação a é simplesmente mais a constante de integração :

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

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(23)
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(18)
Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular, sem tampa e com volume igual a , sendo usada a menor quantidade de material possível em sua fabricação.
Dica: Minimize a função área de superfície.
Se for uma função diferenciável e e forem constantes, verifique que satisfaz a equação diferencial