Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(33)
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular a integral:
Esse exercício está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente ao método da substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifique a integral.
Passo 2
Vamos aplicar o método da substituição, que é útil quando a integral contém uma função composta. A ideia é escolher uma substituição
que simplifique a integral. Observando a função
, percebemos que o expoente é uma função quadrática.
Escolhemos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Rearranjando, temos:
Podemos fatorar o 2:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Dividindo ambos os lados da equação por 2:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando, tiramos a constante
para fora da integral:
Passo 6
A integral de
em relação a
é simplesmente
mais a constante de integração
:
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta para
:
Resposta
A integral é igual a
.
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(23)
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(18)
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Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular, sem tampa e com volume igual a
, sendo usada a menor quantidade de material possível em sua fabricação.
Dica: Minimize a função área de superfície.
Dica: Minimize a função área de superfície.
Se
for uma função diferenciável e
e
forem constantes, verifique que
satisfaz a equação diferencial