( 1,5 pontos) Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por u=(2,-1,1) e v=(1,-1, m) seja igual a raiz62.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de de forma que a área do paralelogramo formado pelos vetores e seja igual a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos dá a área do paralelogramo quando calculamos o módulo desse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 ) . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores u times v = ( (-1)(m) - (1)(-1), (1)(1) - (2)(m), (2)(-1) - (-1)(1) ) = ( -m + 1, 1 - 2m, -2 + 1 ) = ( 1 - m, 1 - 2m, -1 ) e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor resultante, que representa a área do paralelogramo:
|u times v| = raiz(1 - m)^2 + (1 - 2m)^2 + (-1)^2
Simplificando:
|u times v| = raiz(1 - 2m + m^2) + (1 - 4m + 4m^2) + 1 = raiz5m^2 - 6m + 3

Passo 4

A gente sabe que essa área deve ser igual a raiz5m^2 - 6m + 3 = raiz62 , então:
5m^2 - 6m + 3 = 62
Podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
5m^2 - 6m - 59 = 0
Subtraindo 62 de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
m = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 5 cdot (-59)2 cdot 5 = 6 pm raiz36 + 118010 = 6 pm raiz121610 = 6 pm 34.8610
Assim, temos duas soluções:
m1 = 6 + 34.8610 = 4.086 e m2 = 6 - 34.8610 = -2.888

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são aproximadamente e .

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Encontre a equação geral da parábola que tenha foco F(2,-3) e vértice V(2,-2), em seguida esboce o gráfico.