Determine a distância entre o ponto Q=(3,2) e a reta r que passa pelo ponto P=(-2,0) e possui vetor diretor v=(2,-5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre o ponto e a reta que passa pelo ponto e tem o vetor diretor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a uma reta usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a reta r(t) = P + tv pode ser representada parametricamente como:
onde é um ponto da reta e é o vetor diretor.

Passo 3

A fórmula para a distância D = |v times PQ||v| de um ponto a uma reta definida pelo ponto e vetor diretor é:
onde é o vetor que vai de até , e representa o produto vetorial.

Passo 4

Vamos calcular PQ = Q - P = (3 - (-2),, 2 - 0) = (5, 2) :

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial v times PQ = (2)(2) - (-5)(5) = 4 + 25 = 29 :
O módulo desse produto vetorial é .

Passo 6

Em seguida, calculamos o módulo do vetor diretor |v| = raiz2^2 + (-5)^2 = raiz4 + 25 = raiz29 :

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da distância:
D = 29raiz29 = raiz29
Simplificando, a distância é .

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é unidades.

Exercícios relacionados

Sejam triang<= A B C um triângulo e M, N e P os pontos médios dos lados B C, C A e A B, respectivamente. Os segmentos A M, B N e C P são chamados de medianas de triang<= A B C. Para a base B=A B, A C, determine:
(1) As coordenadas do vetor B N em relação à base B. (2) Para os pontos A=(-1,2), B=(3,6) e C=(3,-2), determine se formam um triângulo e, em caso positivo, determine sua classificação em relação aos seus lados e aos seus ângulos.
Defina o conceito (1) Se v=A B. (2) Se B=d, A B forma uma base. (3) Em caso afirmativo do item anterior, determine as coordenadas de v na base B, para v=(2,1). (4) Se c e A B formam um ângulo de pi4.
[rrr-2 & -5 & -5 -3 & 2 & 1 3 & 1 & 2]=P[rrr-2 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b] P^-1 com a.
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [l2 4 3]
(B) [l2 * 4]
© [l2 * 2]
(D) [l2 * 5]
(E) Não sei
I - Se R: R^64 R^64 possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 28 e 36 respectivamente, então R é diagonalizável.
II - Se p é o polinômio característico de uma matriz real e p(-6+2 i)=0, então p(-6-2 i)=0.
(A) Todas são falsas,
(B) Todas são verdadeiras,
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei