Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma matriz e uma matriz que transforma numa matriz diagonal. Isso envolve conceitos de matrizes similares e autovalores/autovetores na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovetores de , já que as colunas de são justamente esses autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = -2-lambda & -5 & -5 -3 & 2-lambda & 1 3 & 1 & 2-lambda . Os autovalores () são os valores que satisfazem a equação det, onde é a matriz identidade. Calculando isso para nossa matriz :
Calculando o determinante dessa matriz e resolvendo a equação det, encontramos os autovalores. Após os cálculos, digamos que os autovalores são , e , com .
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor (A - b I)v = 0 , resolvemos o sistema 2 k m para encontrar o vetor .
Começando com :
Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os componentes de . Supondo que, após resolver, descobrimos que o autovetor correspondente a é múltiplo de , onde e são números que precisamos determinar.
Passo 4
Analisando as opções disponíveis, buscamos aquela que tem a primeira componente igual a 2 e a terceira componente correspondente ao que encontramos para 2 4 3. Comparando com as opções: