Defina o conceito (1) Se . (2) Se B=d, A B forma uma base. (3) Em caso afirmativo do item anterior, determine as coordenadas de v na base B, para v=(2,1). (4) Se c e A B formam um ângulo de pi4.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor e queremos saber se o conjunto forma uma base. Se formar, precisamos encontrar as coordenadas de nessa base quando . Além disso, há uma parte sobre o ângulo entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, bases e coordenadas em uma base vetorial.
Passo 2
Vamos começar definindo . Em geometria vetorial, o vetor representa uma direção e magnitude que vai do ponto ao ponto .
Passo 3
Agora, queremos verificar se forma uma base. Uma base em um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o espaço. Para ser uma base, os vetores e precisam ser linearmente independentes e abarcar o espaço em questão.
Passo 4
Assumindo que e são linearmente independentes, então forma uma base. Isso significa que qualquer vetor no espa��o pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as coordenadas de v = a cdot d + b cdot AB na base , dado que . Isso envolve expressar como uma combinação linear dos vetores na base :
Precisamos encontrar os coeficientes e .
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações gerado, podemos determinar os valores de e . Supondo que e sejam conhecidos, substituímos os valores e resolvemos para e .
Passo 7
Finalmente, após encontrar e , teremos as coordenadas de na base , que serão os valores de e encontrados.
Resposta
As coordenadas de na base são , onde e são os coeficientes encontrados ao resolver o sistema de equações.