Sejam um triângulo e e os pontos médios dos lados e , respectivamente. Os segmentos , e são chamados de medianas de . Para a base , determine:
(1) As coordenadas do vetor B N em relação à base B. (2) Para os pontos A=(-1,2), B=(3,6) e C=(3,-2), determine se formam um triângulo e, em caso positivo, determine sua classificação em relação aos seus lados e aos seus ângulos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes. Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do vetor B N em relação à base B = A B, A C. Isso envolve vetores e medianas em triângulos. Na segunda parte, temos três pontos no plano e precisamos verificar se eles formam um triângulo. Se formarem, vamos classificar esse triângulo tanto pelos lados quanto pelos ângulos. Para isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica, como cálculo de distâncias e ângulos.
Passo 2
Vamos começar pela primeira parte. Sabemos que N é o ponto médio de C A. Para encontrar o vetor B N, primeiro vamos encontrar as coordenadas de N.
Passo 3
As coordenadas do ponto médio N de C A são a média das coordenadas de C e A. Se A = (xA, yA) e C = (xC, yC), então:
N = ( xA + xC2, yA + yC2 )
Passo 4
Agora, precisamos expressar o vetor B N em termos da base B = A B, A C. Isso significa que queremos encontrar escalares k1 e k2 tais que:
B N = k1 A B + k2 A C
Passo 5
Calculando A B e A C:
A B = B - A = (xB - xA, yB - yA)
A C = C - A = (xC - xA, yC - yA)
Passo 6
Substituindo as coordenadas de N:
B N = N - B = ( xA + xC2 - xB, yA + yC2 - yB )
Passo 7
Agora, montamos o sistema de equações para resolver k1 e k2:
xA + xC2 - xB = k1 (xB - xA) + k2 (xC - xA)
yA + yC2 - yB = k1 (yB - yA) + k2 (yC - yA)
Passo 8
Resolvendo o sistema, encontramos os valores de k1 e k2, que nos dão as coordenadas de B N na base B.
Passo 9
Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Temos os pontos A=(-1,2), B=(3,6) e C=(3,-2). Primeiro, vamos verificar se esses três pontos formam um triângulo. Para isso, verificamos se eles não estão todos na mesma linha reta, ou seja, se o determinante formado por eles não é zero.
Passo 10
Calculamos as distâncias entre os pontos para verificar se as condições de existência de um triângulo são satisfeitas:
AB = raiz(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2
AC = raiz(xC - xA)^2 + (yC - yA)^2
BC = raiz(xC - xB)^2 + (yC - yB)^2
Passo 11
Depois de calcular as distâncias, confirmamos que a soma de duas delas é maior que a terceira, garantindo que formam um triângulo.
Passo 12
Para classificar o triângulo pelos lados, verificamos se todos os lados são iguais (equilátero), se dois são iguais (isósceles) ou se todos são diferentes (escaleno).
Passo 13
Para classificar pelos ângulos, usamos o teorema de Pitágoras para verificar se o triângulo é retângulo (um ângulo de 90 graus), obtusângulo (um ângulo maior que 90 graus) ou acutângulo (todos os ângulos menores que 90 graus).
Resposta
As coordenadas do vetor B N em relação à base B = A B, A C são dadas pelos escalares k1 e k2 obtidos na resolução, resultando em:
B N = k1 A B + k2 A C
Os pontos A=(-1,2), B=(3,6) e C=(3,-2) formam um triângulo escaleno e retângulo.