Determine
(a) a distância do ponto à reta
(b) a distância do ponto à reta
© a distância do ponto a cada um dos eixos do sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar as distâncias de certos pontos a uma reta e aos eixos do sistema de coordenadas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Parte (a): Queremos descobrir a distância do ponto à reta definida pelas equações paramétricas:
Primeiro, identificamos um ponto da reta e o vetor diretor da reta. A partir das equações, quando , temos o ponto . O vetor diretor é dado pelos coeficientes de , ou seja, .

Passo 3

A fórmula para a distância entre um ponto e uma reta que passa pelo ponto com vetor diretor é:
Onde é o vetor que vai de até .

Passo 4

Calculamos .
Agora, fazemos o produto vetorial :

Passo 5

Calculamos a magnitude do produto vetorial:
E a magnitude do vetor diretor:
Então, a distância é:

Passo 6

Parte (b): Agora, queremos a distância do ponto à reta definida por:
Seguindo o mesmo procedimento, identificamos o ponto quando , e o vetor diretor .

Passo 7

Calculamos .
Produto vetorial :

Passo 8

Magnitude do produto vetorial:
Magnitude do vetor diretor:
Então, a distância é:

Passo 9

Parte ©: Precisamos encontrar a distância do ponto a cada um dos eixos do sistema de coordenadas (eixo , eixo , eixo ).
A distância de um ponto a um eixo é a distância até a reta correspondente ao eixo, que no caso dos eixos coordenados têm vetores diretores específicos:
  • Eixo : vetor
  • Eixo : vetor
  • Eixo : vetor

Passo 10

Para cada eixo, seguimos a fórmula da distância ponto-reta.
Distância ao eixo :
Ponto na reta:
Vetor diretor:
Produto vetorial:
Magnitude:
Magnitude do vetor diretor:
Portanto, a distância é:
Distância ao eixo :
Vetor diretor:
Produto vetorial:
Magnitude:
Magnitude do vetor diretor:
Distância:
Distância ao eixo :
Vetor diretor:
Produto vetorial:
Magnitude:
Magnitude do vetor diretor:
Distância:

Resposta

(a) A distância do ponto à reta é aproximadamente 6,78 unidades.
(b) A distância do ponto à reta é aproximadamente 2,72 unidades.
© As distâncias do ponto aos eixos são:
  • Eixo : aproximadamente 5,83 unidades;
  • Eixo : aproximadamente 5,39 unidades;
  • Eixo : aproximadamente 3,61 unidades.

Exercícios relacionados

Se é um ponto no plano com normal , então a distância de qualquer ponto até o plano é o comprimento da projeção ortogonal de em . Mostre que a distância de até o plano é
Determine a solução geral das edo
Determine se as retas e são paralelas, concorrentes ou reversas e calcule a distância entre elas.
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.