Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar as distâncias de certos pontos a uma reta e aos eixos do sistema de coordenadas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional.
Passo 2
Parte (a): Queremos descobrir a distância do ponto à reta definida pelas equações paramétricas:
Primeiro, identificamos um ponto da reta e o vetor diretor da reta. A partir das equações, quando , temos o ponto . O vetor diretor é dado pelos coeficientes de , ou seja, .
Passo 3
A fórmula para a distância entre um ponto e uma reta que passa pelo ponto com vetor diretor é:
Onde é o vetor que vai de até .
Passo 4
Calculamos .
Agora, fazemos o produto vetorial :
Passo 5
Calculamos a magnitude do produto vetorial:
E a magnitude do vetor diretor:
Então, a distância é:
Passo 6
Parte (b): Agora, queremos a distância do ponto à reta definida por:
Seguindo o mesmo procedimento, identificamos o ponto quando , e o vetor diretor .
A distância de um ponto a um eixo é a distância até a reta correspondente ao eixo, que no caso dos eixos coordenados têm vetores diretores específicos:
Eixo : vetor
Eixo : vetor
Eixo : vetor
Passo 10
Para cada eixo, seguimos a fórmula da distância ponto-reta.
Distância ao eixo :
Ponto na reta:
Vetor diretor:
Produto vetorial:
Magnitude:
Magnitude do vetor diretor:
Portanto, a distância é:
Distância ao eixo :
Vetor diretor:
Produto vetorial:
Magnitude:
Magnitude do vetor diretor:
Distância:
Distância ao eixo :
Vetor diretor:
Produto vetorial:
Magnitude:
Magnitude do vetor diretor:
Distância:
Resposta
(a) A distância do ponto à reta é aproximadamente 6,78 unidades.
(b) A distância do ponto à reta é aproximadamente 2,72 unidades.