Determine
(a) a distância do ponto (5, 4, 7) à reta r: { x = 1 + 5t, y = 2 - t, t pertence a R, z = t }
(b) a distância do ponto (1, 2, -1) à reta r: { x = 1 + 2t, y = 5 - t, z = -2 + 3t, t em R }
© a distância do ponto (2, 3, 5) a cada um dos eixos do sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar as distâncias de certos pontos a uma reta e aos eixos do sistema de coordenadas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Parte (a): Queremos descobrir a distância do ponto à reta definida pelas equações paramétricas:
Primeiro, identificamos um ponto da reta e o vetor diretor da reta. A partir das equações, quando , temos o ponto . O vetor diretor é dado pelos coeficientes de , ou seja, .

Passo 3

A fórmula para a distância entre um ponto e uma reta que passa pelo ponto com vetor diretor é:
Onde é o vetor que vai de até .

Passo 4

Calculamos .
Agora, fazemos o produto vetorial :

Passo 5

Calculamos a magnitude do produto vetorial:
E a magnitude do vetor diretor:
Então, a distância é:

Passo 6

Parte (b): Agora, queremos a distância do ponto à reta definida por:
Seguindo o mesmo procedimento, identificamos o ponto quando , e o vetor diretor .

Passo 7

Calculamos .
Produto vetorial :

Passo 8

Magnitude do produto vetorial:
Magnitude do vetor diretor:
Então, a distância é:

Passo 9

Parte ©: Precisamos encontrar a distância do ponto a cada um dos eixos do sistema de coordenadas (eixo , eixo , eixo ).
A distância de um ponto a um eixo é a distância até a reta correspondente ao eixo, que no caso dos eixos coordenados têm vetores diretores específicos:
  • Eixo : vetor
  • Eixo : vetor
  • Eixo : vetor

Passo 10

Para cada eixo, seguimos a fórmula da distância ponto-reta.
Distância ao eixo :
Ponto na reta:
Vetor diretor:
Produto vetorial:
Magnitude:
Magnitude do vetor diretor:
Portanto, a distância é:
Distância ao eixo :
Vetor diretor:
Produto vetorial:
Magnitude:
Magnitude do vetor diretor:
Distância:
Distância ao eixo :
Vetor diretor:
Produto vetorial:
Magnitude:
Magnitude do vetor diretor:
Distância:

Resposta

(a) A distância do ponto à reta é aproximadamente 6,78 unidades.
(b) A distância do ponto à reta é aproximadamente 2,72 unidades.
© As distâncias do ponto aos eixos são:
  • Eixo : aproximadamente 5,83 unidades;
  • Eixo : aproximadamente 5,39 unidades;
  • Eixo : aproximadamente 3,61 unidades.

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