Determine se as retas r e s são paralelas, concorrentes ou reversas e calcule a distância entre elas.
r:l x=-1+t y=2+3 t, t in R z=t e s:l x=1+2 t y=2+3 t, t in R z=3 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar se as retas e no espaço são paralelas, concorrentes (ou seja, se cruzam) ou reversas (não se cruzam e não são paralelas). Além disso, precisamos calcular a distância entre elas. Para isso, vamos precisar entender as equações das retas e os vetores diretores delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas x = -1 + t y = 2 + 3t z = t e x = 1 + 2t y = 2 + 3t z = 3t :
Para a reta :
Para a reta :
Aqui, é o parâmetro que varia em .

Passo 3

Vamos identificar os vetores diretores das retas, que são os coeficientes de 1 3 1 em cada equação:
  • Vetor diretor de 2 3 3 :
  • Vetor diretor de :

Passo 4

Para verificar se as retas são paralelas, vamos ver se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Isso significa que existe um escalar 12 neq 33 neq 13 tal que .
Comparando os componentes:
Não existe um comum que satisfaça todas as proporções. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Agora, vamos verificar se as retas se interceptam (são concorrentes). Para isso, igualamos as equações paramétricas e tentamos encontrar valores de -1 + t = 1 + 2t Rightarrow -1 = 1 + t Rightarrow t = -2 que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.
Igualando as coordenadas:
2 + 3t = 2 + 3t Rightarrow Verdade sempre verdadeira
t = 3t Rightarrow t = 0
Não conseguimos encontrar um valor de que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo. Portanto, as retas não se interceptam.

Passo 6

Como as retas não são paralelas nem se interceptam, elas são reversas. Agora, vamos calcular a distância entre elas. A fórmula para a distância entre duas retas reversas no espaço é:
d = |(Ps - Pr) cdot (dr times ds)||dr times ds|
Onde Ps - Pr = 1 - (-1) 2 - 2 0 - 0 = 2 0 0 e dr times ds = i & j & k 1 & 3 & 1 2 & 3 & 3 = i(3 cdot 3 - 1 cdot 3) - j(1 cdot 3 - 1 cdot 2) + k(1 cdot 3 - 3 cdot 2) são pontos nas retas = i(9 - 3) - j(3 - 2) + k(3 - 6) = 6 -1 -3 e 2 0 0 cdot 6 -1 -3 = 2 cdot 6 + 0 cdot (-1) + 0 cdot (-3) = 12 , respectivamente.
Escolhemos |dr times ds| = raiz6^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = raiz36 + 1 + 9 = raiz46 para facilitar:
  • Ponto em d = |12|raiz46 = 12raiz46 approx 1,76 :
  • Ponto em :
Calculando :
Calculando o produto vetorial :
Calculando o produto escalar :
Calculando a magnitude de :
Finalmente, a distância :

Resposta

As retas e são reversas e a distância entre elas é aproximadamente unidades.

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