Determine se as retas e são paralelas, concorrentes ou reversas e calcule a distância entre elas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar se as retas e no espaço são paralelas, concorrentes (ou seja, se cruzam) ou reversas (não se cruzam e não são paralelas). Além disso, precisamos calcular a distância entre elas. Para isso, vamos precisar entender as equações das retas e os vetores diretores delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas e :
Para a reta :
Para a reta :
Aqui, é o parâmetro que varia em .

Passo 3

Vamos identificar os vetores diretores das retas, que são os coeficientes de em cada equação:
  • Vetor diretor de :
  • Vetor diretor de :

Passo 4

Para verificar se as retas são paralelas, vamos ver se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Isso significa que existe um escalar tal que .
Comparando os componentes:
Não existe um comum que satisfaça todas as proporções. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Agora, vamos verificar se as retas se interceptam (são concorrentes). Para isso, igualamos as equações paramétricas e tentamos encontrar valores de que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.
Igualando as coordenadas:
Não conseguimos encontrar um valor de que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo. Portanto, as retas não se interceptam.

Passo 6

Como as retas não são paralelas nem se interceptam, elas são reversas. Agora, vamos calcular a distância entre elas. A fórmula para a distância entre duas retas reversas no espaço é:
Onde e são pontos nas retas e , respectivamente.
Escolhemos para facilitar:
  • Ponto em :
  • Ponto em :
Calculando :
Calculando o produto vetorial :
Calculando o produto escalar :
Calculando a magnitude de :
Finalmente, a distância :

Resposta

As retas e são reversas e a distância entre elas é aproximadamente unidades.

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Determine
(a) a distância do ponto à reta
(b) a distância do ponto à reta
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Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
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(a)
(b)