Se P é um ponto no plano com normal n, então a distância de qualquer ponto S até o plano é o comprimento da projeção ortogonal de P S em n. Mostre que a distância de S até o plano é
d=|lang<=P S, n|n|rang<=|=|lang<=P S, nrang<=||n|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre encontrar a distância de um ponto d = |lang<= PS, n rang<=||n| até um plano no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores, produto escalar (ou interno), norma de um vetor e projeção ortogonal. Precisamos mostrar que a distância é dada por:
Onde:
  • é um ponto que está no plano.
  • é o vetor normal ao plano.
  • é o vetor que vai de até .
  • representa o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distância de um ponto a um plano. Imagine que você tem um ponto fora do plano. A distância mais curta de até o plano é a perpendicular desse ponto ao plano. Ou seja, é o comprimento da reta que sai de e é perpendicular ao plano, encontrando o plano em algum ponto .

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com os vetores envolvidos. O vetor vai do ponto (que está no plano) até . Queremos projetar esse vetor na direção do vetor normal . A projeção ortogonal de em nos dá exatamente o comprimento da distância .

Passo 4

Para calcular a projeção ortogonal de um vetor em outro, usamos o produto escalar. A projeção de Projn (PS) = lang<= PS, n rang<=|n|^2 n em | Projn (PS) | = |lang<= PS, n rang<=||n| é dada por:
O comprimento dessa projeção é:

Passo 5

Então, a distância d = |lang<= PS, n rang<=||n| de até o plano é exatamente esse comprimento da projeção:
Isso mostra que a distância é o valor absoluto do produto escalar de com o vetor normal , dividido pela norma de .

Resposta

A distância de d = |lang<= PS, n rang<=||n| até o plano é:

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