Se é um ponto no plano com normal , então a distância de qualquer ponto até o plano é o comprimento da projeção ortogonal de em . Mostre que a distância de até o plano é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre encontrar a distância de um ponto até um plano no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores, produto escalar (ou interno), norma de um vetor e projeção ortogonal. Precisamos mostrar que a distância é dada por:
Onde:
  • é um ponto que está no plano.
  • é o vetor normal ao plano.
  • é o vetor que vai de até .
  • representa o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distância de um ponto a um plano. Imagine que você tem um ponto fora do plano. A distância mais curta de até o plano é a perpendicular desse ponto ao plano. Ou seja, é o comprimento da reta que sai de e é perpendicular ao plano, encontrando o plano em algum ponto .

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com os vetores envolvidos. O vetor vai do ponto (que está no plano) até . Queremos projetar esse vetor na direção do vetor normal . A projeção ortogonal de em nos dá exatamente o comprimento da distância .

Passo 4

Para calcular a projeção ortogonal de um vetor em outro, usamos o produto escalar. A projeção de em é dada por:
O comprimento dessa projeção é:

Passo 5

Então, a distância de até o plano é exatamente esse comprimento da projeção:
Isso mostra que a distância é o valor absoluto do produto escalar de com o vetor normal , dividido pela norma de .

Resposta

A distância de até o plano é:

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Determine
(a) a distância do ponto à reta
(b) a distância do ponto à reta
© a distância do ponto a cada um dos eixos do sistema de coordenadas.
Determine se as retas e são paralelas, concorrentes ou reversas e calcule a distância entre elas.