Determine a distribuição de probabilidade de o número de produtos defeituosos na amostra de tamanho n. Quais características que o experimento deve ter para que seja definida essa distribuição. (Assuma que a probabilidade de um produto defeituoso é p).
SUGESTÃO: Você pode determinar e a , a partir da distribuç̧ão de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é a distribuição de probabilidade de , que representa o número de produtos defeituosos numa amostra de tamanho . Para fazer isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial. Precisamos entender como funciona essa distribuição e quais condições o experimento deve ter para aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de probabilidade. Ela nos diz como as probabilidades estão distribuídas entre os diferentes resultados possíveis de uma variável aleatória. No nosso caso, pode ser 0, 1, 2, …, até , dependendo de quantos produtos são defeituosos.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a distribuição binomial. Essa distribuição é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com apenas dois resultados possíveis: “sucesso” ou “falha”. No nosso cenário, “sucesso” pode ser considerado um produto defeituoso, e “falha” um produto bom.

Passo 4

Para a distribuição binomial se aplicar, precisamos que o experimento atenda a quatro características principais:
  1. Número fixo de tentativas ( ): Neste caso, estamos analisando uma amostra de tamanho .
  2. Tentativas independentes: O resultado de um produto não afeta o resultado dos outros.
  3. Dois resultados possíveis por tentativa: Defeituoso ou não defeituoso.
  4. Probabilidade constante de sucesso ( ): A chance de um produto ser defeituoso é sempre em cada tentativa.

Passo 5

Como nosso experimento atende a todas essas características, podemos usar a distribuição binomial para modelar . A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
  • é o número de combinações de elementos tomados a .
  • é a probabilidade de um produto ser defeituoso.
  • é o número de produtos defeituosos que queremos calcular a probabilidade.

Passo 6

Além disso, a esperança matemática (ou valor esperado) e a variância da distribuição binomial são dadas por:
Isso nos ajuda a entender, em média, quantos produtos esperamos que sejam defeituosos e como essa quantidade pode variar.

Resposta

A distribuição de probabilidade de , o número de produtos defeituosos numa amostra de tamanho , segue uma distribuição binomial com parâmetros e . Ou seja,
As características que o experimento deve ter para que essa distribuição seja válida são:
  1. Número fixo de tentativas ( ).
  2. Tentativas independentes.
  3. Dois resultados possíveis por tentativa (defeituoso ou não).
  4. Probabilidade constante de sucesso ( ) em cada tentativa.

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