Determine a distribuição de probabilidade de X= o número de produtos defeituosos na amostra de tamanho n. Quais características que o experimento deve ter para que seja definida essa distribuição. (Assuma que a probabilidade de um produto defeituoso é p).
SUGESTÃO: Você pode determinar E(N2) e a V(N2), a partir da distribuç̧ão de N1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é a distribuição de probabilidade de X, que representa o número de produtos defeituosos numa amostra de tamanho n. Para fazer isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial. Precisamos entender como funciona essa distribuição e quais condições o experimento deve ter para aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de probabilidade. Ela nos diz como as probabilidades estão distribuídas entre os diferentes resultados possíveis de uma variável aleatória. No nosso caso, X pode ser 0, 1, 2, …, até n, dependendo de quantos produtos são defeituosos.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a distribuição binomial. Essa distribuição é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com apenas dois resultados possíveis: “sucesso” ou “falha”. No nosso cenário, “sucesso” pode ser considerado um produto defeituoso, e “falha” um produto bom.

Passo 4

Para a distribuição binomial se aplicar, precisamos que o experimento atenda a quatro características principais:
  1. Número fixo de tentativas ( n): Neste caso, estamos analisando uma amostra de tamanho n.
  2. Tentativas independentes: O resultado de um produto não afeta o resultado dos outros.
  3. Dois resultados possíveis por tentativa: Defeituoso ou não defeituoso.
  4. Probabilidade constante de sucesso ( p): A chance de um produto ser defeituoso é sempre p em cada tentativa.

Passo 5

Como nosso experimento atende a todas essas características, podemos usar a distribuição binomial para modelar X. A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • binomnk é o número de combinações de n elementos tomados k a k.
  • p é a probabilidade de um produto ser defeituoso.
  • k é o número de produtos defeituosos que queremos calcular a probabilidade.

Passo 6

Além disso, a esperança matemática (ou valor esperado) e a variância da distribuição binomial são dadas por:
E(X) = n p
V(X) = n p (1-p)
Isso nos ajuda a entender, em média, quantos produtos esperamos que sejam defeituosos e como essa quantidade pode variar.

Resposta

A distribuição de probabilidade de X, o número de produtos defeituosos numa amostra de tamanho n, segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p. Ou seja,
X sim Binomial(n, p)
As características que o experimento deve ter para que essa distribuição seja válida são:
  1. Número fixo de tentativas ( n).
  2. Tentativas independentes.
  3. Dois resultados possíveis por tentativa (defeituoso ou não).
  4. Probabilidade constante de sucesso ( p) em cada tentativa.

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