Uma empresa (cliente) define, com o seu fornecedor, o seguinte plano de aceitação por amostragem: de um lote de 1000 peças, retira uma amostra de 20 produtos. Se encontrar dois ou mais produtos defeituosos a empresa rejeita todo o lote. Caso contrário o lote será aceito. O fornecedor afirma que, em média, produz de produtos defeituosos.
Determine a função discreta de densidade de probabilidade da v. a. número de produtos defeituosos na amostra;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Nós temos um lote de 1000 peças e vamos retirar uma amostra de 20 delas. A empresa vai rejeitar todo o lote se encontrar dois ou mais produtos defeituosos na amostra. O fornecedor diz que, em média, 5% dos produtos são defeituosos. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de probabilidade discreta da variável aleatória , que representa o número de produtos defeituosos na amostra. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuições discretas, especificamente a distribuição binomial ou hipergeométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória . representa o número de produtos defeituosos encontrados na amostra de 20 peças. Como estamos lidando com uma amostra retirada de um lote finito (1000 peças) sem reposição, a distribuição adequada seria a hipergeométrica. No entanto, dado que o lote é grande comparado ao tamanho da amostra, podemos simplificar usando a distribuição binomial, que é mais fácil de trabalhar e dá um resultado bastante próximo.

Passo 3

Agora, vamos identificar os parâmetros que vamos precisar para a distribuição binomial:
  • : número de tentativas (ou seja, o tamanho da amostra).
  • : probabilidade de sucesso em cada tentativa (a chance de uma peça ser defeituosa).
A distribuição binomial é apropriada aqui porque cada peça tem a mesma probabilidade de ser defeituosa, e as escolhas são independentes devido ao grande tamanho do lote em relação à amostra.

Passo 4

Com os parâmetros definidos, podemos escrever a função de densidade de probabilidade da variável usando a fórmula da distribuição binomial:
Onde:
  • é a combinação que calcula de quantas formas podemos escolher defeituosos em tentativas.
  • é a probabilidade de exatamente defeituosos.
  • é a probabilidade de não serem defeituosos.
Substituindo os valores:
Isso nos dá a probabilidade de encontrar exatamente produtos defeituosos na amostra de 20 peças.

Resposta

A função de densidade de probabilidade da vari��vel aleatória é dada por:

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