Determine o divergente dos seguintes campos vetoriais:
A=3 r^2 r

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o divergente do campo vetorial A=3 r^2 r. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre divergente em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos usar a fórmula do divergente em coordenadas esféricas e entender o que cada termo significa.

Passo 2

Primeiro, lembre que em coordenadas esféricas, o vetor A pode ser escrito como Ar r + Atheta theta + Aphi phi. No nosso caso, só tem a componente radial, então Atheta = 0 e Aphi = 0, e Ar = 3r^2.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula do divergente em coordenadas esféricas para um campo vetorial A = Ar r + Atheta theta + Aphi phi:
nabla cdot A = 1r^2 partialpartial r(r^2 Ar) + 1r sin theta partialpartial theta(Atheta sin theta) + 1r sin theta partial Aphipartial phi
Como Atheta e Aphi são zero, as últimas duas parcelas da fórmula desaparecem, ficando só:
nabla cdot A = 1r^2 partialpartial r(r^2 Ar)

Passo 4

Substituindo Ar = 3r^2 na fórmula:
nabla cdot A = 1r^2 partialpartial r(r^2 cdot 3r^2) = 1r^2 partialpartial r(3r^4)
Agora, vamos derivar 3r^4 em relação a r:
partialpartial r(3r^4) = 12r^3
Então:
nabla cdot A = 12r^3r^2 = 12r

Resposta

O divergente do campo vetorial A=3 r^2 r é nabla cdot A = 12r.

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