Determine o divergente dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o divergente do campo vetorial
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre divergente em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos usar a fórmula do divergente em coordenadas esféricas e entender o que cada termo significa.
Passo 2
Primeiro, lembre que em coordenadas esféricas, o vetor
pode ser escrito como
. No nosso caso, só tem a componente radial, então
e
, e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula do divergente em coordenadas esféricas para um campo vetorial
:
Como
e
são zero, as últimas duas parcelas da fórmula desaparecem, ficando só:
Passo 4
Substituindo
na fórmula:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Então:
Resposta
O divergente do campo vetorial
é
.
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Sendo
um vetor constante, mostre que
. Para
, determine o fluxo do vetor gradiente acima através a) da semiesfera
do círculo de raio
situado no plano
, centrado no eixo
.
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um cilindro reto de raio e altura
, de densidade de massa
, onde
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