Sendo um vetor constante, mostre que . Para , determine o fluxo do vetor gradiente acima através a) da semiesfera do círculo de raio situado no plano , centrado no eixo .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. Precisamos mostrar que o gradiente de é igual a . Além disso, para , vamos determinar o fluxo desse vetor gradiente através de duas superfícies específicas: a) uma semiesfera de raio com e b) um círculo de raio no plano , centrado no eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de uma função vetorial. O gradiente, denotado por , nos dá como a função muda em cada direção do espaço. No nosso caso, queremos encontrar , onde é um vetor constante e é o vetor posição.

Passo 3

Para calcular o gradiente, precisamos aplicar as regras de derivação para vetores. Sabemos que é o produto escalar entre e , e é a magnitude de , ou seja, .

Passo 4

Vamos expressar a função . Queremos encontrar . Usaremos a regra do gradiente para funções que são produtos e quocientes de vetores.

Passo 5

Calculando o gradiente:
Aplicamos a regra do gradiente para um produto escalar dividido por uma função escalar:

Passo 6

Calculamos cada parte separadamente:
  1. , já que é constante.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do gradiente:
Simplificando:

Passo 8

Agora que mostramos a igualdade, vamos calcular o fluxo desse vetor gradiente para .
Primeiro, definimos , onde é o vetor unitário na direção .

Passo 9

O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado por:
Onde é o vetor área diferencial na superfície .

Passo 10

a) Semiesfera , :
Para a semiesfera, usamos coordenadas esféricas. A normal em cada ponto é radial, então .
O fluxo será:
Substituindo :
Simplificando:
Portanto, o fluxo através da semiesfera é zero.

Passo 11

b) Círculo de raio no plano :
Para o círculo no plano , a normal é .
O fluxo será:
Substituindo :
Como , temos . Substituindo:
Simplificando:
No plano , constante, então:
Calculando a integral, obtemos:

Resposta

Para , o fluxo do vetor gradiente através da semiesfera , é zero, e através do círculo de raio no plano é .

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