Sendo
um vetor constante, mostre que
. Para
, determine o fluxo do vetor gradiente acima através a) da semiesfera
do círculo de raio
situado no plano
, centrado no eixo
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. Precisamos mostrar que o gradiente de
é igual a
. Além disso, para
, vamos determinar o fluxo desse vetor gradiente através de duas superfícies específicas: a) uma semiesfera de raio
com
e b) um círculo de raio
no plano
, centrado no eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de uma função vetorial. O gradiente, denotado por
, nos dá como a função muda em cada direção do espaço. No nosso caso, queremos encontrar
, onde
é um vetor constante e
é o vetor posição.
Passo 3
Para calcular o gradiente, precisamos aplicar as regras de derivação para vetores. Sabemos que
é o produto escalar entre
e
, e
é a magnitude de
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos expressar a função
. Queremos encontrar
. Usaremos a regra do gradiente para funções que são produtos e quocientes de vetores.
Passo 5
Calculando o gradiente:
Aplicamos a regra do gradiente para um produto escalar dividido por uma função escalar:
Passo 6
Calculamos cada parte separadamente:
-
, já que é constante. -
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do gradiente:
Simplificando:
Passo 8
Agora que mostramos a igualdade, vamos calcular o fluxo desse vetor gradiente para
.
Primeiro, definimos
, onde
é o vetor unitário na direção
.
Passo 9
O fluxo
de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado por:
Onde
é o vetor área diferencial na superfície
.
Passo 10
a) Semiesfera
,
:
Para a semiesfera, usamos coordenadas esféricas. A normal
em cada ponto é radial, então
.
O fluxo será:
Substituindo
:
Simplificando:
Portanto, o fluxo através da semiesfera é zero.
Passo 11
b) Círculo de raio
no plano
:
Para o círculo no plano
, a normal é
.
O fluxo será:
Substituindo
:
Como
, temos
. Substituindo:
Simplificando:
No plano
,
constante, então:
Calculando a integral, obtemos:
Resposta
Para
, o fluxo do vetor gradiente através da semiesfera
,
é zero, e através do círculo de raio
no plano
é
.
Exercícios relacionados
Determine a massa total de:
um cilindro reto de raio e altura
, de densidade de massa
, onde
é a distância (perpendicular) de um ponto do cilindro ao seu eixo.
um cilindro reto de raio
Encontre a sustentação (força devido à diferença de pressão) em uma asa de avião com área de
se a velocidade do ar nas partes superior e inferior é
e
, respectivamente. Suponha que
. (1,5)
Determine o divergente dos seguintes campos vetoriais:
As fem e as correntes induzidas diferem, em algum aspecto, das fem e correntes fornecidas por uma bateria ligada a uma espira condutora? Discuta.