Sendo p um vetor constante, mostre que nabla(p cdot rr^3)=3(p cdot r) r-r^2 pr^5. Para p=p z, determine o fluxo do vetor gradiente acima através a) da semiesfera r=R, z>0 ; b) do círculo de raio R situado no plano z=h, centrado no eixo z.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial. Precisamos mostrar que o gradiente de é igual a . Além disso, para , vamos determinar o fluxo desse vetor gradiente através de duas superfícies específicas: a) uma semiesfera de raio com e b) um círculo de raio no plano , centrado no eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente de uma função vetorial. O gradiente, denotado por , nos dá como a função muda em cada direção do espaço. No nosso caso, queremos encontrar , onde é um vetor constante e é o vetor posição.

Passo 3

Para calcular o gradiente, precisamos aplicar as regras de derivação para vetores. Sabemos que é o produto escalar entre e , e é a magnitude de , ou seja, .

Passo 4

Vamos expressar a função . Queremos encontrar . Usaremos a regra do gradiente para funções que são produtos e quocientes de vetores.

Passo 5

Calculando o gradiente:
nabla f(r) = nabla ( p cdot rr^3 )
Aplicamos a regra do gradiente para um produto escalar dividido por uma função escalar:
nabla ( p cdot rr^3 ) = (nabla (p cdot r)) cdot r^3 - (p cdot r) nabla (r^3)r^6

Passo 6

Calculamos cada parte separadamente:
  1. , já que é constante.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do gradiente:
nabla f(r) = p cdot r^3 - (p cdot r) cdot 3r rr^6 = r^3 p - 3r (p cdot r) rr^6
Simplificando:
nabla f(r) = 3(p cdot r) r - r^2 pr^5

Passo 8

Agora que mostramos a igualdade, vamos calcular o fluxo desse vetor gradiente para .
Primeiro, definimos , onde é o vetor unitário na direção .

Passo 9

O fluxo Phi = integral duplaS F cdot dS de um campo vetorial através de uma superfície é dado por:
Onde é o vetor área diferencial na superfície .

Passo 10

a) Semiesfera Phi = integral duplaS nabla f(r) cdot n , dS , Phi = integral duplaS 3(p cdot r) r - r^2 pr^5 cdot rr , dS :
Para a semiesfera, usamos coordenadas esféricas. A normal Phi = integral duplaS 3(p cdot r) r - r^2 (p cdot r)r^6 , dS = 0 em cada ponto é radial, então .
O fluxo será:
Substituindo :
Simplificando:
Portanto, o fluxo através da semiesfera é zero.

Passo 11

b) Círculo de raio Phi = integral duplaS nabla f(r) cdot z , dS no plano Phi = integral duplaS 3(p cdot r) r - r^2 pr^5 cdot z , dS :
Para o círculo no plano Phi = integral duplaS 3 p z r - r^2 p zr^5 cdot z , dS , a normal é Phi = integral duplaS 3 p z z - r^2 pr^5 , dS = integral duplaS 3 p z^2 - r^2 pr^5 , dS .
O fluxo será:
Phi = ph^3 integral duplaS (3 h^2 - r^2) , dS
Substituindo Phi = ph^3 cdot pi R^2 (3 h^2 - R^2) :
Como , temos . Substituindo:
Simplificando:
No plano , constante, então:
Calculando a integral, obtemos:

Resposta

Para , o fluxo do vetor gradiente através da semiesfera , é zero, e através do círculo de raio no plano é .

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