Determine a massa total de:
um cilindro reto de raio R e altura h, de densidade de massa rhov=K rho, onde rho é a distância (perpendicular) de um ponto do cilindro ao seu eixo.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a massa total de um cilindro reto com raio e altura . A densidade de massa do cilindro é dada por , onde é a distância perpendicular de um ponto ao eixo do cilindro. Para resolver esse problema, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo, especificamente integrais em coordenadas cilíndricas, que são adequadas para objetos com simetria circular como o cilindro.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa a densidade de massa . Aqui, representa a densidade volumétrica, ou seja, a massa por unidade de volume em um ponto qualquer do cilindro. A variável é a distância do ponto ao eixo central do cilindro, e é uma constante. Isso significa que a densidade varia linearmente com a distância radial do ponto ao eixo.

Passo 3

Para calcular a massa total do cilindro, precisamos integrar a densidade volumétrica sobre todo o volume do cilindro. Devido à forma do cilindro, é conveniente usar coordenadas cilíndricas ( ), onde:
  • é a distância radial ao eixo,
  • é o ângulo em torno do eixo,
  • é a altura ao longo do eixo.

Passo 4

Os limites de integração em coordenadas cilíndricas para o nosso cilindro são:
  • varia de 0 a ,
  • varia de 0 a ,
  • varia de 0 a .

Passo 5

A massa total m = integral0^h integral0^2pi integral0^R rhov cdot rho , drho , dtheta , dz é dada pela integral tripla da densidade volumétrica sobre o volume do cilindro:
m = integral0^h integral0^2pi integral0^R K rho cdot rho , drho , dtheta , dz = K integral0^h integral0^2pi integral0^R rho^2 , drho , dtheta , dz
Substituindo :

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integramos em relação a integral0^R rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^R = R^33 :
integral0^2pi dtheta = 2pi
  1. Integramos em relação a integral0^h dz = h :
m = K cdot R^33 cdot 2pi cdot h = 23 pi K h R^3
  1. Integramos em relação a :
Multiplicando todos os resultados:

Resposta

A massa total do cilindro é .

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