Suponha que você está deitado na praia, perto do Equador, vendo o Sol se pôr em um mar calmo, e liga um cronômetro no momento em que o Sol desaparece. Em seguida, você se levanta, deslocando os olhos para cima de uma distância
, e desliga o cronômetro no momento em que o Sol volta a desaparecer. Se o tempo indicado pelo cronômetro é
, qual é o raio da Terra?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o raio da Terra usando o tempo que leva para o Sol desaparecer novamente quando você se levanta uma certa altura. A matéria envolvida aqui é a geometria relacionada ao horizonte e à rotação da Terra. Vamos precisar usar fórmulas que relacionam a altura de observação, o tempo e o raio da Terra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando você está deitado e depois se levanta. Quando você está deitado, seus olhos estão a uma altura baixa, e o horizonte está mais próximo. Quando você se levanta, mesmo que apenas 1,70 metros, você consegue ver um pouco mais longe porque a Terra é curva.
Passo 3
A distância até o horizonte pode ser calculada com a fórmula:
Onde:
-
é a distância até o horizonte, -
é o raio da Terra, -
é a altura dos olhos.
Como você se levantou, a diferença na distância até o horizonte é o que está relacionada ao tempo que o Sol leva para “voltar” ao desaparecer.
Passo 4
Agora, vamos relacionar essa distância ao tempo registrado. A Terra está girando, então o Sol parece se mover no céu. A rotação da Terra faz com que o ponto onde o Sol desaparece mude com o tempo.
Sabemos que a Terra gira 360 graus em aproximadamente 24 horas, ou seja, cada segundo corresponde a uma pequena fração desse movimento.
Passo 5
Vamos calcular a velocidade angular da Terra:
Onde:
-
é a velocidade angular, -
é o período de rotação da Terra (24 horas ou 86400 segundos).
Então:
Passo 6
O deslocamento angular que o Sol percorre durante o tempo
segundos é:
Passo 7
Esse deslocamento angular está relacionado à distância adicional que você consegue ver ao se levantar. Usando a fórmula da distância até o horizonte:
Mas como o deslocamento angular
também pode ser expresso como:
Então:
Passo 8
Agora, isolamos
na equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 9
Substituindo os valores que temos:
Então:
Resposta
O raio da Terra calculado é aproximadamente
metros.