Suponha que você está deitado na praia, perto do Equador, vendo o Sol se pôr em um mar calmo, e liga um cronômetro no momento em que o Sol desaparece. Em seguida, você se levanta, deslocando os olhos para cima de uma distância H=1,70 m, e desliga o cronômetro no momento em que o Sol volta a desaparecer. Se o tempo indicado pelo cronômetro é t=11,1 s, qual é o raio da Terra?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o raio da Terra usando o tempo que leva para o Sol desaparecer novamente quando você se levanta uma certa altura. A matéria envolvida aqui é a geometria relacionada ao horizonte e à rotação da Terra. Vamos precisar usar fórmulas que relacionam a altura de observação, o tempo e o raio da Terra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando você está deitado e depois se levanta. Quando você está deitado, seus olhos estão a uma altura baixa, e o horizonte está mais próximo. Quando você se levanta, mesmo que apenas 1,70 metros, você consegue ver um pouco mais longe porque a Terra é curva.

Passo 3

A distância até o horizonte pode ser calculada com a fórmula:
d = raiz2 cdot R cdot H
Onde:
  • é a distância até o horizonte,
  • é o raio da Terra,
  • é a altura dos olhos.
Como você se levantou, a diferença na distância até o horizonte é o que está relacionada ao tempo que o Sol leva para “voltar” ao desaparecer.

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa distância ao tempo registrado. A Terra está girando, então o Sol parece se mover no céu. A rotação da Terra faz com que o ponto onde o Sol desaparece mude com o tempo.
Sabemos que a Terra gira 360 graus em aproximadamente 24 horas, ou seja, cada segundo corresponde a uma pequena fração desse movimento.

Passo 5

Vamos calcular a velocidade angular da Terra:
omega = 2piT
Onde:
  • omega = 2pi86400 approx 7,27 times 10^-5 , rad/s é a velocidade angular,
  • é o período de rotação da Terra (24 horas ou 86400 segundos).
Então:

Passo 6

O deslocamento angular que o Sol percorre durante o tempo theta = omega cdot t segundos é:
theta approx 7,27 times 10^-5 cdot 11,1 approx 8,07 times 10^-4 , rad

Passo 7

Esse deslocamento angular está relacionado à distância adicional que você consegue ver ao se levantar. Usando a fórmula da distância até o horizonte:
De
Mas como o deslocamento angular theta = De também pode ser expresso como:
raiz2 cdot R cdot HR = theta
Então:
raiz2HR = theta

Passo 8

Agora, isolamos raiz2HR = theta na equação:
2HR = theta^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
R = 2Htheta^2

Passo 9

Substituindo os valores que temos:
H = 1,70 , m
theta = 8,07 times 10^-4 , rad
Então:
R = 2 cdot 1,70(8,07 times 10^-4)^2
R = 3,406,51 times 10^-7
R approx 5,22 times 10^6 , m

Resposta

O raio da Terra calculado é aproximadamente metros.

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