Determine o domínio de e as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de .
(a)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função e encontrar as assíntotas verticais e horizontais do gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender conceitos de domínio de funções e assíntotas em funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

A função é uma função racional, ou seja, é o quociente de dois polinômios. A função está definida para todos os valores de que não tornam o denominador igual a zero, pois não podemos dividir por zero.

Passo 4

Vamos determinar quais valores de fazem o denominador igual a zero:
Resolvendo a equação:

Passo 5

Portanto, o denominador é zero quando ou . Esses valores devem ser excluídos do domínio da função.

Passo 6

Assim, o domínio de é todos os números reais exceto e . Em notação matemática:
í

Passo 7

Agora, vamos determinar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem nos valores de que fazem o denominador igual a zero, desde que o numerador não seja zero nesses pontos.

Passo 8

Como já encontramos que e fazem o denominador igual a zero, vamos verificar se o numerador é zero nesses pontos. O numerador é 1, que nunca é zero.

Passo 9

Portanto, a função possui assíntotas verticais em e .

Passo 10

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. A assíntota horizontal descreve o comportamento da função quando tende ao infinito ou menos infinito.

Passo 11

Para funções racionais onde o grau do polinômio no numerador é menor que o grau do polinômio no denominador, a assíntota horizontal é .

Passo 12

No caso da função , o grau do numerador (0) é menor que o grau do denominador (2). Portanto, a assíntota horizontal é:

Resposta

  • Domínio de :
  • Assíntotas verticais: e
  • Assíntota horizontal:

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© .
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(b)