Determine o domínio de:
f(x) = raiz(x^5(2 - 3x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função . Isso significa que precisamos descobrir quais valores de tornam a expressão dentro da raiz quadrada válida, ou seja, que não resultem em números imaginários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada de um número só está definida para valores maiores ou iguais a zero. Então, para a função estar definida, a expressão dentro da raiz deve satisfazer:

Passo 3

Agora, vamos analisar essa expressão:
Isso significa que o produto de e deve ser maior ou igual a zero. Vamos entender os sinais de cada parte:
  • : Como é uma potência ímpar, o sinal de é o mesmo de . Ou seja, se for positivo, é positivo; se for negativo, é negativo.
  • : Esta é uma expressão linear que muda de sinal dependendo do valor de .

Passo 4

Vamos encontrar quando cada parte é positiva, negativa ou zero.
  1. Para :
    • Positivo quando
    • Negativo quando
    • Zero quando
  2. Para :
    • Positivo quando
    • Negativo quando
    • Zero quando

Passo 5

Agora, vamos combinar esses sinais para encontrar quando o produto é maior ou igual a zero.
  • Para :
    • (pois )
    • Produto: Negativo
  • Para :
    • Produto: Positivo
  • Para :
    • Produto: Zero
  • Para :
    • Produto: Zero
  • Para :
    • Produto: Negativo

Resposta

Então, a expressão é maior ou igual a zero somente quando:
Portanto, o domínio da função é:

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