Esboce o gráfico de:
f(x) = { x^2, se x <= 1; 2 - (x - 2)^2, se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente esboçar o gráfico de uma função definida por partes. Isso faz parte do conteúdo de funções matemáticas, especificamente funções por partes. Para resolver, vamos precisar entender cada parte da função, identificar os pontos chave e depois juntar tudo no gráfico final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está dividida em duas partes:
Isso significa que para valores de menores ou iguais a 1, a função é , e para valores maiores que 1, a função é .

Passo 3

Vamos começar pela primeira parte: para .
Esse é o gráfico de uma parábola com a concavidade para cima. Sabemos que o vértice dessa parábola está na origem (0,0). Precisamos traçar essa parábola apenas até .
Quando :
Então, temos o ponto (1,1) como o ponto final dessa parte da função.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: para .
Essa também é uma parábola, mas com a concavidade para baixo devido ao sinal negativo. Vamos reescrever para facilitar:
O vértice dessa parábola está em , e o valor de é:
Então, o vértice é o ponto (2,2). Vamos traçar essa parábola começando de .
Quando :
Então, temos o ponto (1,1) como o ponto inicial dessa parte da função.

Passo 5

Agora que temos os pontos chave:
  • Para : Parcela da parábola que vai da origem (0,0) até (1,1).
  • Para : Parábola que começa em (1,1), passa pelo vértice em (2,2) e continua para a direita.
Vamos juntar essas duas partes no gráfico.

Resposta

O gráfico de é formado por duas parábolas que se encontram no ponto (1,1). Para , a parábola abre para cima a partir da origem até (1,1). Para , a parábola abre para baixo, iniciando em (1,1) alcançando o vértice em (2,2) e seguindo para a direita. Assim, o esboço mostra uma curva contínua que muda de concavidade no ponto .

Exercícios relacionados

Encontre o domínio de:
f(x) = (x^2 - 5x + 6)^x.
Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
f(x) = 5 * raiz(x - c) para c = 0, 1, -2.
Determine o domínio de:
f(x) = raiz(x^5(2 - 3x)).
Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
f(x) = -2(x - c)² para c = 0, 1, -2.