Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e fazer um esboço do gráfico da função . Vamos precisar lidar com funções logarítmicas, entender quais valores de são permitidos e como o gráfico dessa função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso dos logaritmos, o argumento (o número dentro do logaritmo) precisa ser positivo. Ou seja, para , o dentro do logaritmo deve ser maior que zero.
Então, temos:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais positivos.

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico da função .
Primeiro, lembremos que a função logarítmica básica tem algumas características importantes:
  • Passa por (1, 0) porque para qualquer base .
  • Cresce se a base e decresce se .
No nosso caso, a base é , que é entre 0 e 1. Isso significa que a função é decrescente. Além disso, temos um sinal negativo na frente do logaritmo, o que inverte a direção da função, tornando-a crescente.
Outras características importantes:
  • Conforme se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende para , mas com o sinal negativo, tende para -infinito.
  • Conforme tende para , tende para , e com o sinal negativo, tende para +infinito.
  • A função passa pelo ponto .

Resposta

O domínio da função é . O gráfico de é uma curva que passa pelo ponto (1, 0), é crescente, aproxima-se de -infinito quando se aproxima de 0 e de +infinito quando cresce, refletindo a inversão devido ao sinal negativo.

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