Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o domínio e fazer um esboço do gráfico da função
. Vamos precisar lidar com funções logarítmicas, entender quais valores de
são permitidos e como o gráfico dessa função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso dos logaritmos, o argumento (o número dentro do logaritmo) precisa ser positivo. Ou seja, para
, o
dentro do logaritmo deve ser maior que zero.
Então, temos:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais positivos.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
.
Primeiro, lembremos que a função logarítmica básica
tem algumas características importantes:
- Passa por (1, 0) porque
para qualquer base . - Cresce se a base
e decresce se .
No nosso caso, a base é
, que é entre 0 e 1. Isso significa que a função
é decrescente. Além disso, temos um sinal negativo na frente do logaritmo, o que inverte a direção da função, tornando-a crescente.
Outras características importantes:
- Conforme
se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende para , mas com o sinal negativo, tende para -infinito. - Conforme
tende para , tende para , e com o sinal negativo, tende para +infinito. - A função passa pelo ponto
.
Resposta
O domínio da função é
. O gráfico de
é uma curva que passa pelo ponto (1, 0), é crescente, aproxima-se de -infinito quando
se aproxima de 0 e de +infinito quando
cresce, refletindo a inversão devido ao sinal negativo.
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, onde
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e
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. Respostas:
Sendo
, calcule.
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