Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e fazer um esboço do gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, como o que define o domínio e como a base da log influencia o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função logarítmica
é o conjunto de valores de
para os quais o logaritmo está definido. Isso acontece quando
, porque não dá para tirar logaritmo de zero ou de número negativo. Então, para nossa função:
Passo 3
Agora, vamos entender a base do logaritmo, que no caso é
. Quando a base
de um logaritmo é entre 0 e 1 (ou seja,
), o gráfico da função logarítmica decresce, ao contrário do que acontece quando a base é maior que 1. Isso significa que, conforme
aumenta,
diminui.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, vamos identificar alguns pontos importantes:
- Ponto conhecido: Sabemos que
para qualquer base . Então, . - Outro ponto: Vamos calcular
. Sabemos que . - Comportamento: Como a base é
(entre 0 e 1), o gráfico vai começar alto e descer conforme aumenta.
Então, plotando esses pontos e sabendo que o gráfico é uma curva contínua que desce, temos uma ideia de como fica.
Resposta
O domínio da função
é todo número real positivo, ou seja,
.
O esboço do gráfico é uma curva decrescente que passa pelo ponto (1, 0) e
, aproximando-se do eixo
à medida que
se aproxima de zero, e descendo indefinidamente conforme
cresce.