Determine o domínio da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o domínio da função
. Isso envolve duas coisas principais: entender quando a expressão dentro do logaritmo é válida e quando o que está dentro da raiz quadrada é não negativo. Vamos precisar de conhecimentos sobre logaritmos e propriedades de funções de raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte dentro do logaritmo:
. Para o logaritmo ser definido, o argumento dele precisa ser maior que zero. Então, temos que:
Passo 3
Resolvendo essa desigualdade:
Isso significa que
deve ser maior que 1 ou menor que -1. Então, até aqui sabemos que
.
Passo 4
Agora, vamos considerar a raiz quadrada:
. Para a raiz quadrada ser real, o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero:
Passo 5
Resolvendo a desigualdade do logaritmo:
Isso implica que:
Então,
deve ser maior ou igual a
ou menor ou igual a
.
Passo 6
Agora, combinamos as duas condições que encontramos:
A interseção dessas duas condições é onde ambas são verdadeiras. Portanto, o domínio da função é:
Resposta
O domínio da função é
.