Determine o domínio da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o domínio da função
. Isso envolve duas coisas principais: entender quando a expressão dentro do logaritmo é válida e quando o que está dentro da raiz quadrada é não negativo. Vamos precisar de conhecimentos sobre logaritmos e propriedades de funções de raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte dentro do logaritmo:
. Para o logaritmo ser definido, o argumento dele precisa ser maior que zero. Então, temos que:
Passo 3
Resolvendo essa desigualdade:
Isso significa que
deve ser maior que 1 ou menor que -1. Então, até aqui sabemos que
.
Passo 4
Agora, vamos considerar a raiz quadrada:
. Para a raiz quadrada ser real, o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero:
Passo 5
Resolvendo a desigualdade do logaritmo:
Isso implica que:
Então,
deve ser maior ou igual a
ou menor ou igual a
.
Passo 6
Agora, combinamos as duas condições que encontramos:
A interseção dessas duas condições é onde ambas são verdadeiras. Portanto, o domínio da função é:
Resposta
O domínio da função é
.
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<html><head></head><body><div>Escrever cada expressão abaixo como um único logaritmo na base 2 .<br>
<span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.136ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“10.096ex” height=“2.832ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 4462.5 1252”><title>2 log(1/4) 3</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(389,0)”><path data-c=“1D44F” d=“M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 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<html><head></head><body><div>Esboce os gráficos das funções abaixo.<br>
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.136ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“21.62ex” height=“2.832ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 9556.1 1252”><title>f(x) = log( (x-2) / (1/2) )</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(389,0)”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 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