Esboce os gráficos das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
. Estamos falando de funções logarítmicas, que são super importantes no estudo de crescimento e decrescimento exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o logaritmo com base menor que 1 e como a transformação
afeta o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo
é definido apenas para
. No nosso caso,
, então precisamos que
, ou seja,
. Isso significa que o domínio da função é todos os números maiores que 2.
Passo 3
Agora, vamos identificar a assíntota vertical. Para funções logarítmicas, a linha vertical onde o argumento do logaritmo é zero é a assíntota. Portanto, temos
que dá
. Essa é a linha vertical que o gráfico nunca toca, pois a função não está definida lá.
Passo 4
Vamos encontrar as interseções com os eixos. Para a interseção com o eixo x, definimos
:
Sabemos que
para qualquer base
, então
, o que dá
. Portanto, o gráfico cruza o eixo x em (3, 0).
Para a interseção com o eixo y, colocamos
:
Mas
não está no domínio da função, então não há interseção com o eixo y.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função. Como a base do logaritmo é
, que é menor que 1, a função será decrescente. Isso significa que, à medida que
aumenta,
diminui. Perto da assíntota
,
tende ao infinito positivo, e quando
vai para o infinito,
tende a menos infinito.
Passo 6
Finalmente, podemos esboçar o gráfico usando as informações que obtivemos:
- Domínio:
- Assíntota vertical em
- Interseção com o eixo x em (3, 0)
- A função é decrescente, indo de
perto de até conforme aumenta.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva decrescente com uma assíntota vertical em
e cruzando o eixo x no ponto (3, 0). À medida que
se aproxima de 2 pela direita,
tende ao infinito positivo, e à medida que
aumenta,
diminui continuamente.