Esboce os gráficos das funções abaixo.
f(x) = log( (x-2) / (1/2) )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função . Estamos falando de funções logarítmicas, que são super importantes no estudo de crescimento e decrescimento exponencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o logaritmo com base menor que 1 e como a transformação afeta o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo é definido apenas para . No nosso caso, , então precisamos que , ou seja, . Isso significa que o domínio da função é todos os números maiores que 2.

Passo 3

Agora, vamos identificar a assíntota vertical. Para funções logarítmicas, a linha vertical onde o argumento do logaritmo é zero é a assíntota. Portanto, temos que dá . Essa é a linha vertical que o gráfico nunca toca, pois a função não está definida lá.

Passo 4

Vamos encontrar as interseções com os eixos. Para a interseção com o eixo x, definimos :
Sabemos que para qualquer base , então , o que dá . Portanto, o gráfico cruza o eixo x em (3, 0).
Para a interseção com o eixo y, colocamos :
Mas não está no domínio da função, então não há interseção com o eixo y.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função. Como a base do logaritmo é , que é menor que 1, a função será decrescente. Isso significa que, à medida que aumenta, diminui. Perto da assíntota , tende ao infinito positivo, e quando vai para o infinito, tende a menos infinito.

Passo 6

Finalmente, podemos esboçar o gráfico usando as informações que obtivemos:
  • Domínio:
  • Assíntota vertical em
  • Interseção com o eixo x em (3, 0)
  • A função é decrescente, indo de perto de até conforme aumenta.

Resposta

O gráfico da função é uma curva decrescente com uma assíntota vertical em e cruzando o eixo x no ponto (3, 0). À medida que se aproxima de 2 pela direita, tende ao infinito positivo, e à medida que aumenta, diminui continuamente.

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