Resolva as inequações
k (log(1/2)(x))^2 ≥ 2 log(1/2)(x)

Passo 1

Vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com uma inequação que envolve logaritmos e funções quadráticas. Para resolver isso, vamos tratar a expressão como uma inequação quadrática, onde será nossa variável.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a inequação trazendo todos os termos para um lado:
Isso nos dá uma inequação quadrática na forma , onde .

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação quadrática . Para isso, fatoramos a expressão:
Isso significa que o produto de e deve ser maior ou igual a zero.

Passo 4

Para determinar quando o produto é maior ou igual a zero, identificamos os pontos críticos onde o produto é igual a zero:
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos que vamos analisar.

Passo 5

Vamos analisar os sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
  1. Intervalo :
    • é negativo.
    • é negativo.
    • Produto: positivo (negativo × negativo = positivo).
  2. Intervalo :
    • é positivo.
    • é negativo.
    • Produto: negativo (positivo × negativo = negativo).
  3. Intervalo :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Produto: positivo (positivo × positivo = positivo).
Portanto, a inequação é satisfeita quando:
  • ou
  • .

Passo 6

Agora, substituímos de volta na inequação:
  1. Para :
Como a base é menor que 1, a função logaritmo é decrescente. Portanto:
  1. Para :
Novamente, pela função decrescente:

Resposta

A solução da inequação é ou .

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