Resolva as inequações
Passo 1
Vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos lidando com uma inequação que envolve logaritmos e funções quadráticas. Para resolver isso, vamos tratar a expressão como uma inequação quadrática, onde
será nossa variável.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a inequação trazendo todos os termos para um lado:
Isso nos dá uma inequação quadrática na forma
, onde
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a inequação quadrática
. Para isso, fatoramos a expressão:
Isso significa que o produto de
e
deve ser maior ou igual a zero.
Passo 4
Para determinar quando o produto
é maior ou igual a zero, identificamos os pontos críticos onde o produto é igual a zero:
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos que vamos analisar.
Passo 5
Vamos analisar os sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
-
Intervalo
: -
é negativo. -
é negativo. - Produto: positivo (negativo × negativo = positivo).
-
-
Intervalo
: -
é positivo. -
é negativo. - Produto: negativo (positivo × negativo = negativo).
-
-
Intervalo
: -
é positivo. -
é positivo. - Produto: positivo (positivo × positivo = positivo).
-
Portanto, a inequação
é satisfeita quando:
-
ou -
.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na inequação:
- Para
:
Como a base
é menor que 1, a função logaritmo é decrescente. Portanto:
- Para
:
Novamente, pela função decrescente:
Resposta
A solução da inequação é
ou
.