Uma função de produção é dada por . Sabe-se que os insumos e variam ao longo do tempo de acordo com as equações
em que e são constantes positivas.
b. Calcule para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função de produção que relaciona dois insumos, e , com a produção total . A função é dada por:
Os insumos e mudam ao longo do tempo de acordo com:
Aqui, , e são constantes positivas. Queremos calcular a derivada de em relação ao tempo no instante , ou seja, quando .
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar diretamente em termos de substituindo e na função de produção:
Assim, agora temos como uma função de somente.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada . Para isso, usaremos a regra da cadeia para derivar funções compostas. A função é o produto de duas funções de :
onde:
A derivada de em relação a é dada por:
Onde e são as derivadas de e em relação a .
Passo 4
Vamos calcular e :
Agora, substituímos nas expressões de , , e :
Substituindo esses valores na expressão da derivada: