Uma função de produção é dada por P(K, L) = 2 * K^(0.7) * L^(0.3). Sabe-se que os insumos K e L variam ao longo do tempo de acordo com as equações
K(t) = t^2 + gamma t + beta e L(t) = beta * e^(lambda t)
em que gamma, beta e lambda são constantes positivas.
b. Calcule dP/dt para t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função de produção que relaciona dois insumos, e , com a produção total . A função é dada por:
Os insumos e mudam ao longo do tempo de acordo com:
Aqui, , e são constantes positivas. Queremos calcular a derivada de em relação ao tempo no instante , ou seja, quando .
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar diretamente em termos de substituindo e na função de produção:
Assim, agora temos como uma função de somente.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada . Para isso, usaremos a regra da cadeia para derivar funções compostas. A função é o produto de duas funções de :
onde:
A derivada de em relação a é dada por:
Onde e são as derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular e :
Agora, substituímos nas expressões de , , e :
Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Simplificando:

Resposta

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