Uma função de produção é dada por
. Sabe-se que os insumos
e
variam ao longo do tempo de acordo com as equações
em que
e
são constantes positivas.
b. Calcule
para
.
b. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função de produção que relaciona dois insumos,
e
, com a produção total
. A função é dada por:
Os insumos
e
mudam ao longo do tempo
de acordo com:
Aqui,
,
e
são constantes positivas. Queremos calcular a derivada de
em relação ao tempo
no instante
, ou seja,
quando
.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
diretamente em termos de
substituindo
e
na função de produção:
Assim, agora temos
como uma função de
somente.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada
. Para isso, usaremos a regra da cadeia para derivar funções compostas. A função
é o produto de duas funções de
:
onde:
A derivada de
em relação a
é dada por:
Onde
e
são as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Agora, substituímos
nas expressões de
,
,
e
:
Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Simplificando: