Determine o domínio da função:

Passo 1

Beleza, temos que determinar o domínio da função . Isso significa que vamos descobrir para quais valores de essa função está definida. Vamos precisar entender um pouco sobre raízes quadradas e frações algébricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela, ou seja, , precisa ser maior ou igual a zero. Além disso, o denominador da fração não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, vamos dividir isso em duas partes:
  1. Denominador não zero:
    Isso significa que .
  2. Expressão dentro da raiz não negativa:
    Para resolver isso, vamos analisar onde o numerador e o denominador são positivos ou negativos.

Passo 3

Vamos encontrar os valores que fazem o numerador e o denominador iguais a zero:
  • Numerador:
    Resolvendo: ou
  • Denominador:
    Resolvendo:
Esses valores dividem a reta real em intervalos que vamos analisar separadamente.

Passo 4

Agora, vamos analisar os sinais da expressão em cada intervalo definido por :
  1. Intervalo :
    • Numerador: (porque qualquer número ao quadrado é positivo e maior que 1)
    • Denominador:
    • Fração: Positivo dividido por Negativo dá Negativo
  2. Intervalo :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Fração: Positivo dividido por Positivo dá Positivo
  3. Intervalo :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Fração: Negativo dividido por Positivo dá Negativo
  4. Intervalo :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Fração: Positivo dividido por Positivo dá Positivo

Passo 5

Como queremos que , olhamos onde a fração é positiva ou igual a zero:
  • Intervalo
  • Intervalo
  • Além disso, nos pontos e , a expressão dentro da raiz é igual a zero, o que é permitido.
Lembrando que porque o denominador não pode ser zero.

Resposta

O domínio da função é pertencente ao intervalo .

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