Determine o domínio da função:
Passo 1
Beleza, temos que determinar o domínio da função
. Isso significa que vamos descobrir para quais valores de
essa função está definida. Vamos precisar entender um pouco sobre raízes quadradas e frações algébricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela, ou seja,
, precisa ser maior ou igual a zero. Além disso, o denominador da fração não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, vamos dividir isso em duas partes:
-
Denominador não zero:
Isso significa que. -
Expressão dentro da raiz não negativa:
Para resolver isso, vamos analisar onde o numerador e o denominador são positivos ou negativos.
Passo 3
Vamos encontrar os valores que fazem o numerador e o denominador iguais a zero:
-
Numerador:
Resolvendo:ou -
Denominador:
Resolvendo:
Esses valores dividem a reta real em intervalos que vamos analisar separadamente.
Passo 4
Agora, vamos analisar os sinais da expressão
em cada intervalo definido por
:
-
Intervalo
: - Numerador:
(porque qualquer número ao quadrado é positivo e maior que 1) - Denominador:
- Fração: Positivo dividido por Negativo dá Negativo
- Numerador:
-
Intervalo
: - Numerador:
- Denominador:
- Fração: Positivo dividido por Positivo dá Positivo
- Numerador:
-
Intervalo
: - Numerador:
- Denominador:
- Fração: Negativo dividido por Positivo dá Negativo
- Numerador:
-
Intervalo
: - Numerador:
- Denominador:
- Fração: Positivo dividido por Positivo dá Positivo
- Numerador:
Passo 5
Como queremos que
, olhamos onde a fração é positiva ou igual a zero:
- Intervalo
- Intervalo
- Além disso, nos pontos
e , a expressão dentro da raiz é igual a zero, o que é permitido.
Lembrando que
porque o denominador não pode ser zero.
Resposta
O domínio da função é
pertencente ao intervalo
.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais das funções trigonométricas usando a Substituição Universal
:
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível:
Resolva as integrais das funções racionais:
a)
a)
Calcule os seguintes limites: