Resolva as integrais das funções trigonométricas usando a Substituição Universal :

Passo 1

Então, temos a integral . Vamos resolver essa integral usando a substituição universal . Para isso, precisaremos transformar todas as funções trigonométricas em termos de e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de substituição trigonométrica para :
Essas fórmulas nos ajudarão a substituir , e em termos de .

Passo 3

Vamos substituir todas as partes da integral original com essas expressões:
Agora, vamos simplificar o denominador da fração interna.

Passo 4

Simplificando o denominador:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão dividindo as frações:
Podemos fatorar como , então:

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
Podemos separar essa fração em duas partes:

Passo 7

Vamos integrar cada parte separadamente:
Juntando as duas integrais, temos:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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a)