Resolva as integrais das funções trigonométricas usando a Substituição Universal
:
Passo 1
Então, temos a integral
. Vamos resolver essa integral usando a substituição universal
. Para isso, precisaremos transformar todas as funções trigonométricas em termos de
e simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de substituição trigonométrica para
:
Essas fórmulas nos ajudarão a substituir
,
e
em termos de
.
Passo 3
Vamos substituir todas as partes da integral original com essas expressões:
Agora, vamos simplificar o denominador da fração interna.
Passo 4
Simplificando o denominador:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão dividindo as frações:
Podemos fatorar
como
, então:
Passo 6
Agora, a integral ficou mais simples:
Podemos separar essa fração em duas partes:
Passo 7
Vamos integrar cada parte separadamente:
Juntando as duas integrais, temos:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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a)
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