Resolva as integrais das funções trigonométricas usando a Substituição Universal t=tan (x2) : integral cos (x) d x1-sin (x)+cos (x)

Passo 1

Então, temos a integral . Vamos resolver essa integral usando a substituição universal . Para isso, precisaremos transformar todas as funções trigonométricas em termos de e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de substituição trigonométrica para sin(x) = 2t1 + t^2, cos(x) = 1 - t^21 + t^2, dx = 2 , dt1 + t^2 :
Essas fórmulas nos ajudarão a substituir , e em termos de .

Passo 3

Vamos substituir todas as partes da integral original com essas expressões:
integral 1 - t^21 + t^2 cdot 2 , dt1 + t^21 - 2t1 + t^2 + 1 - t^21 + t^2
Agora, vamos simplificar o denominador da fração interna.

Passo 4

Simplificando o denominador:
1 - 2t1 + t^2 + 1 - t^21 + t^2 = (1 + t^2) - 2t + 1 - t^21 + t^2 = 2 - 2t1 + t^2
Portanto, a integral fica:
integral 1 - t^21 + t^2 cdot 21 + t^22(1 - t)1 + t^2 , dt

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão dividindo as frações:
1 - t^21 + t^2 cdot 21 + t^22(1 - t)1 + t^2 = (1 - t^2) cdot 2(1 + t^2)^2 cdot 1 + t^22(1 - t) = 1 - t^2(1 + t^2)(1 - t)
Podemos fatorar (1 - t)(1 + t)(1 + t^2)(1 - t) = 1 + t1 + t^2 como , então:

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
integral 1 + t1 + t^2 , dt
Podemos separar essa fração em duas partes:
integral 11 + t^2 , dt + integral t1 + t^2 , dt

Passo 7

Vamos integrar cada parte separadamente:
integral 11 + t^2 , dt = arctan(t) + C1
integral t1 + t^2 , dt = 12 ln|1 + t^2| + C2
Juntando as duas integrais, temos:
arctan(t) + 12 ln|1 + t^2| + C

Passo 8

Agora, substituímos arctan(tan(x2)) + 12 ln(1 + tan^2(x2)) + C de volta na expressão:
x2 + 12 ln(sec^2(x2)) + C
Simplificando:
x2 + ln(sec(x2)) + C
Sabemos que , então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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